¿Por qué es necesario AC para $|\bigcup X_i|=|\bigcup Y_i|$, $\forall i, |X_i|=|Y_i|$, $\{X_i\}_{i\in I}$, $\{Y_i\}_{i\in I}$ mutuamente disjuntos?

Question

En la página 60, Teoría de Conjuntos, Jech(2006),

5.9 Si $\{X_i : i \in I\}$ y $\{Y_i : i \in I\}$ son dos familias disjuntas tal que $|X_i| = |Y_i|$ para cada $i \in I$, entonces $|\cup_{i \in I}X_i| = |\cup_{i \in I}Y_i|$ [Usar AC]

Así es como va hasta aquí:

$|X_i| = |Y_i|$ implica que existe una función biyectiva $f_i: X_i \to Y_i$ para cada $i \in I$ ex ante. Dado que $\{X_i : i \in I\}$ es una familia disjunta, para cada $x \in \cup_{i \in I}X_i$, existe exactamente un $i \in I$ tal que $x \in X_i$. Entonces podríamos definir una función biyectiva $f:\cup_{i \in I}X_i \to \cup_{i \in I}Y_i$, por $f(x)=f_i(x)$, si $x \in X_i$.

No veo ninguna utilidad de AC en el problema 5.9, a diferencia del problema 5.10, en el cual $|\cup_{i \in I}X_i| = |\cup_{i \in I}Y_i|$ es reemplazado por $|\prod_{i \in I}X_i| = |\prod_{i \in I}Y_i|$. La razón es que sin AC, la cardinalidad de un producto cartesiano de conjuntos no vacíos es arbitraria.

Answer 1

Para cada $i\in I$ hay en general muchas biyecciones de $X_i$ a $Y_i$, por lo que estás usando el axioma de elección cuando eliges una biyección específica $f_i$ para cada $i\in I.

En concreto, para cada $i\in I$ sea $B_i$ el conjunto de biyecciones de $X_i$ a $Y_i$. Entonces $\{B_i:i\in I\}$ es una familia no vacía de conjuntos no vacíos, y quieres elegir un conjunto $\{f_i:i\in I\}$ tal que $f_i\in B_i$ para cada $i\in I. Para hacerlo sin más información, necesitas el axioma de elección.

Answer 2

Tienes que elegir bijecciones para cada $i$. Es consistente que haya una familia $\{P_i\mid i\in\omega\}$ de pares disjuntos que no tenga una función de elección en ninguna subfamilia infinita.

Se puede demostrar (bastante fácilmente también) que $\bigcup P_n$ es innumerable y de hecho Dedekind-finito.

Sin embargo, $|P_n|=|\{2n,2n+1\}|$ mientras que $|\bigcup P_n|\neq|\bigcup_{n\in\omega}\{2n,2n+1\}|=|\omega|=\aleph_0$.