Cociente del anillo de números enteros

Question

Sea $R=\mathcal{O}(K)$ el anillo de los enteros de $K=\mathbb{Q}[\zeta_8]$, donde $\zeta_8=e^{2\pi i/8}=\sqrt{2}/2(1+i)$ es una primitiva raíz octava de la unidad en $\mathbb{C}$. Puede ser demostrado que $R$ es un P.I.D.

Que $\mathscr{P}$ ser la ideal $\langle \zeta_8-1\rangle$ y deje $$\mathscr{P}^{-2}=\{x\in K\mid (\zeta_8-1)^2x\in R\}.$$

Reclamo: $\mathscr{P}^{-2}/R\cong R/\mathscr{P}^2\cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$.

¡No tengo absolutamente ni idea de cómo probar esto!

Answer 1

Bien, ${\zeta_8}^2$ es un cuarto de la raíz de la unidad, y principalmente es $i$ (a $\pi/2$), prefieren denota $\zeta_8=\sqrt i$. Este campo $\Bbb Q(\sqrt i)$ es en 4d vectorspace $\Bbb Q$ con un estándar de base $1,\sqrt i,\,i,\,i\sqrt i$. (La siguiente potencia, ${\zeta_8}^4= -1$ ya que dependen de ellos. Tenga en cuenta también que $\Bbb Q(\sqrt i)=\Bbb Q(i,\sqrt 2)$ como extensión de campo.) De modo que $\Bbb Z[\sqrt i] =\{a+b\sqrt i+ci+di\sqrt i \mid a,b,c,d\in\Bbb Z\}$.

1. ¿Cuáles son los números enteros en $\Bbb Q(\sqrt i)$? Va a ser $\Bbb Z[\sqrt i]$, pero necesita ser pensado.
2. Como David que se menciona en un comentario, $2\in\mathscr P=\left((1-\sqrt i)\right)$, debido a que la escritura '$a\equiv b \pmod{\mathscr P}$'$b-a\in\mathscr P$), tenemos $$1\equiv\sqrt i \overset{()^2}\implies 1\equiv i \overset{()^2}\implies 1\equiv -1 \overset{+1}\implies 2\equiv 0 \pmod{\mathscr P}$$
3. Entonces, para $\mathscr P^2$, es el ideal generado por a $(\sqrt i -1)^2=i-2\sqrt i+1$. Así que, básicamente, de la relación $$1+i \equiv 2\sqrt i \pmod{\mathscr P^2}$$ la genera. A partir de esto, también tenemos $2i\equiv 4i$, lo que implica la $0\equiv 2i$ (multplying por $(-i)$:) $\ 0\equiv 2 \pmod{\mathscr P^2}$, así que de nuevo $-1\equiv 1$. También, $1+i\equiv 2\sqrt i\equiv 0\sqrt i=0$, $1\equiv -i=(-1)i\equiv i$. Y, debido a $\sqrt i-1\notin\mathscr P^2$, también tenemos $\sqrt i\not\equiv 1 \pmod{\mathscr P^2}$. Así que, finalmente, podemos concluir que $R/\mathscr P^2$ es representado por el siguiente conjunto: $$\{ 0,1,\sqrt i,1-\sqrt i \}$$ Y, no es $\Bbb Z/4\Bbb Z$, pero todavía un anillo con 4 elementos..

Estoy seguro de que hay más sofisticada, y la solución más sencilla, pero hasta que nos encontramos con él, usted puede jugar con $\sqrt i$..

Acerca de la otra declaración, $\mathscr P^{-2}/R$, bueno.. el problema es que $R$ no puede ser un ideal de allí, porque $1\in R$.

Edit: Pero, como Hurkyl señalar, que ambos son $R$-módulos, por lo que se puede hacer sentido de todos modos.