Que $a_1, \ldots,\ a_{100}$ ser $100$ enteros positivos. Muestran que alrededor del $m,\ n$ $1\le m\le n\le 100, \sum_{i=m}^n a_i$ es divisible por $100$.

Question

Que $a_1,\ a_2,\ a_3, \ldots,\ a_{100}$ ser $100$ enteros positivos. Muestran que alrededor del $m,\ n$ $1\le m\le n\le 100, \sum_{i=m}^n a_i$ es divisible por $100$.

Answer 1

Considerar el % de sumas parciales $s_n=\sum_{i=1}^n a_i$, donde $1\leq n\leq100$. Si es divisible por $s_i$ $100$ $i$ entonces hemos terminado. De lo contrario, puesto que hay $100$ $s_i$ y $99$ posibles restos en división por $100$, dos del $s_i$, decir $s_n$ $s_m$ $m>n$, debe ser igual modulo $100$. Entonces $s_n-s_m = \sum_{i=m}^n a_i$ es divisible por $100$, como se desee.