Definición de función convexa

Question

Spivak del libro primera vez que los estados de esta definición de Función Convexa:

Definición 1:

Una función de $f$ es convexa en un intervalo, si para todas las $a$ $b$ en el intervalo, el segmento de la línea de unirse a $(a, f(a))$ $(b, f(b))$ se encuentra por encima de la gráfica de $f$.

Ahora, esto significa que el derecho de la línea definida por la función $g(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)$ es tal que $f(x)<g(x)$. Pero esto es equivalente a decir que el $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Esta es la razón por la que, a continuación, establece una definición equivalente.

Definición 2:

Una función de $f$ es convexa en un intervalo si para $a$, $x$, y $b$ en el intervalo de con $a<x<b$ tenemos $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Ahora, de forma análoga, puedo tener el mismo derecho de la línea definida por $g$, pero ahora se describe por la función $G(x)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-b)+f(b)$ de tal manera que, si $f$ es convexa, por definición,$(1)$, $f(x)<G(x)$ y por lo tanto

RESULTADO: $\frac{f(x)-f(b)}{x-b}>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ porque $x-b <0$.

Mi pregunta entonces es, ¿cómo puedo obtener este resultado a partir de la definición de $2)$?.

Answer 1

Comience con la definición 2, $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}<\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Cruz (ambos denominadores positivos) se multiplican y ruptura: cancelar $$\left[f(x)-f(a)\right](b-a)<\left[f(b)-f(a)\right](x-a)$ $$\Rightarrow f(x)(b-a)-f(a)b+f(a)a < \left[f(b)-f(a)\right]x-f(b)a+f(a)a $ $ $f(a)a$ $ de ambos lados, mover $f(b)a$ de lado derecho a lado izquierdo y restar de ambos lados $b\left[f(b)-f(a)\right]$: $$\Rightarrow f(x)(b-a)-f(a)b + f(b)a-b\left[f(b)-f(a)\right] < \left[f(b)-f(a)\right]x-b\left[f(b)-f(a)\right] $ $

Simplificar y reunir términos: $$f(x)(b-a) - f(b)(b-a) < \left[f(b)-f(a)\right](x-b)$ $

$$\Rightarrow \frac{f(x)-f(b)}{x-b}>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ $ porque $x-b$ es negativo.

Answer 2

Este es un esquema de un "evidente" de la prueba. Usted puede rellenar los datos si lo desea.

Revisión a y b en el intervalo de con a < b y asumir el significado de "convexo", como en la Definición 2 de ser la correcta.

Tomar cualquier punto x con a < x < b y dibuje tres líneas rectas. La primera línea recta (Línea 1) se une a una x. La segunda línea recta (Línea 2) se une a x a b. La tercera línea recta (Línea 3) se une a a y b.

Definición 2 dice que la Línea 1 tiene menor gradiente de la Línea 3.

Ahora te quiero mostrar que la Línea 2 tiene mayor gradiente de la Línea 3.

La línea 1 tiene menor gradiente de la Línea 3. Supongamos que la Línea 2 se ha degradado menor o igual a la pendiente de la Línea 3. A continuación, la Línea 2 no se cruzan la Línea de 3 en el b, una contradicción.

Para la prueba de "Después de la Línea 2 no cruzan la Línea 3 a b" sólo ten en cuenta que f(x) < g(x) y dibuje dos líneas, cada una de gradiente (f(b) - f(a)) / (b - a): una partida en (x,f(x)) y una partida en (x,g(x)).