En los niveles de primaria abelian $p$-cada grupo no trivial elemento tiene orden de $p$, por lo que la clasificación de finitely generado abelian de grupo es isomorfo a $(\mathbb Z/p\mathbb Z)^n = \mathbb F_p^n$ algunos $n$. Un elemento de $\mathbb F_p^n$ es sólo un vector con las entradas en $\mathbb F_p$ y estos, obviamente, forma un espacio vectorial sobre $\mathbb F_p$.
Otra manera de ver esta nota, que cada grupo abelian $G$ $\mathbb Z$- módulo de $(n,g) \mapsto g^n$, es decir, hay un canónica homomorphism $\mathbb Z \to \operatorname{End}(G), n \mapsto [g \mapsto g^n]$. Si $G$ primaria $p$-grupo, a continuación, $g^p = 1$ todos los $g \in G$, lo $p$ se encuentra en el núcleo y la homomorphism induce $\mathbb Z/p\mathbb Z \to \operatorname{End}(G)$ que equipa a $G$ con la estructura de una $\mathbb Z/p\mathbb Z$ espacio vectorial.
Sin embargo, otra manera (la más directa de uno) es definir $\mathbb F_p \times G \to G, (\overline a, g) \mapsto g^a$ y para verificar que este cumple los axiomas de un espacio vectorial (donde la suma es el grupo de operación). Esto está bien definido ya que si $a \equiv b \pmod p$ $g^a = g^b$ donde estamos usando ese $g^p = 1$ todos los $g \in G$.
Para una aplicación que involucran lineal independece deje $G$ ser finito $p$-grupo (no necesariamente abelian) y $\Phi(G)$ su Frattini subgrupo, es decir, la intersección de todos los maximal subgrupos. A continuación, $\Phi(G)$ es normal en $G$ y el Frattini cociente $G/\Phi(G)$ es un elemental abelian $p$-grupo, por lo tanto puede ser visto como un espacio vectorial sobre $\mathbb F_p$ por las consideraciones anteriores.
Reclamo: El tamaño de un conjunto mínimo de generadores de $G$ es igual a $\dim_{\mathbb F_p}(G/\Phi(G))$.
Prueba: Vamos a $\{x_1,\ldots,x_n$} un conjunto mínimo de generadores de $G$. Entonces, obviamente, el residuo de clases $\{\overline{x_1},\ldots,\overline{x_n} \}$ generar $G/\Phi(G)$ $\mathbb F_p$- espacio vectorial, por lo que es suficiente para mostrar que ellos son linealmente independientes sobre $\mathbb F_p$. Supongamos por contradicción que
$$\overline{x_1}^{a_1}\cdots \overline{x_n}^{a_n} = \overline {1}$$
es una relación lineal en $G/\Phi(G)$ donde al menos uno de $a_i$ no es divisible por $p$, decir $a_1 \not\equiv 0 \mod p$. Por exponentiating ambos lados con el mod de $p$ inversa de a $a_1$ encontramos
$$\overline{x_1} \cdot \overline{x_2}^{b_2}\cdots \overline{x_n}^{b_n} = \overline{1}$$
por cierto $b_i$, por lo tanto
$$x_1 = g \cdot x_n^{-b_n}\cdots x_2^{-b_2}$$
para algunos $g \in \Phi(G)$. Esto demuestra que $\{g, x_2,\ldots,x_n\}$ es también un generador de $G$. Nos muestran que podemos eliminar $g$ y todavía generar todos los de $G$, contradiciendo la minimality de nuestro primer set de generación de energía. Suponga $\{x_2,\ldots,x_n\}$ genera una adecuada subgrupo de $G$, decir $H$. A continuación, $H$ está contenida en un subgrupo maximal $M$$G$. Por definición de $\Phi(G)$,$g \in M$, por lo tanto el subgrupo generado por a $\{g,x_2,\ldots,x_n\}$ también se encuentra en $M$, contradiciendo el hecho de que genera todos los de $G$.
