Extensión finita y normal del grado impar.

Question

Dejemos que $\mathbb{Q} \subseteq E$ sea una extensión normal finita. Demostrar que si $(E : \mathbb{Q})=n$ es impar entonces $E\subseteq \mathbb{R}$ .

Mi intento:

Estoy utilizando el hecho de que una extensión normal finita es un campo de división para algún polinomio $f$ en $\mathbb{Q}$ . Entonces $E = \mathbb{Q}(a_{1}, a_{2}, .....,a_{n})$ , donde $a_{i}$ es una raíz de $f$ .

Además, sé que el grado $(\mathbb{Q}(a_{i}):\mathbb{Q})$ debe dividir $(E:\mathbb{Q})=n$ para todos $i$ así que también tiene que ser impar.

Si alguno de $a_{i}$ era un número complejo, entonces el grado $(\mathbb{Q}(a_{i}):\mathbb{Q})$ sería $2$ y obtendríamos una contradicción. Pero, ¿es suficiente decir que $E\subseteq \mathbb{R}$ ? ¿Es correcta mi forma de pensar?

Answer 1

Pistas:

1. Si $z\in E$ es arbitraria, entonces utiliza la normalidad de $E/\Bbb{Q}$ para demostrar que el complejo conjugado $\overline{z}\in E$ También.
2. Así que la restricción de la conjugación compleja a $E$ es un automorfismo de $E$ . ¿Qué posibilidades tenemos para su ordenamiento como un automorfismo de $E$ ?
3. En consecuencia, ¿qué posibilidades hay de que el grado $[E:E\cap\Bbb{R}]$ . ¿Puedes eliminar todas menos una? Observe que $E\cap\Bbb{R}$ es el campo fijo de la conjugación compleja.