Para cíclica de los grupos, la distribución de los pedidos es sencillo (si ignoramos la dificultad de la factorización de los del grupo para encontrar los divisores).
Un grupo cíclico de orden $n$ tiene exactamente $\varphi(n)$ generadores ($\varphi$ es de Euler totient de la función), y para cada divisor $d$ $n$ exactamente un subgrupo de orden $d$ - si $g$ es un generador de todo el grupo, $\{ g^{k\cdot n/d} : 0 \leqslant k < d\}$ es el subgrupo de orden $d$, e $g^{n/d}$ es un generador de ese subgrupo - subgrupo que también es cíclico, por lo que ha $\varphi(d)$ generadores. Por el contrario, en cualquier grupo, un elemento de orden $k$ genera un subgrupo cíclico de orden $k$, por lo que en un grupo cíclico de orden $n$, para cada divisor $d$$n$, hay exactamente $\varphi(d)$ elementos de orden $d$.
Desde $a \mid b \Rightarrow \varphi(a) \leqslant \varphi(b)$ cíclicos, los grupos tienden a tener más elementos con grandes pedidos que con pedidos pequeños (pero, por supuesto, el recuento se hace en general no aumenta monótonamente con la orden, un grupo cíclico con $1140$ elementos de ha $18$ elementos de orden $19$, pero sólo $16$ elementos de orden $60$ y sólo el $8$ orden $30$).
Desde el cíclico caso, usted puede obtener las distribuciones finito(ly generado) abelian grupos. Un grupo es (isomorfo a) una suma directa de grupos cíclicos, y el orden de un elemento es el mínimo común múltiplo de los pedidos de los componentes. Así que para encontrar el número de elementos de orden $k$ en
$$G \cong \bigoplus_{i=1}^m \mathbb{Z}/(n_i),$$
encuentra todas las secuencias $(d_1,\,\ldots,\, d_m)$$d_i \mid n_i$$\operatorname{lcm} (d_1,\,\ldots,\,d_m) = k$, y la suma de los parciales de la cuenta
$$\prod_{i=1}^m \varphi(d_i)$$
usted obtener desde la elección de los elementos de orden $d_i$ en cada sumando.
Para las pequeñas $m$, que es bastante factible, pero se vuelve difícil de manejar más rápido si el número de sumandos crece.
