Número de soluciones de una ecuación lineal $AX=B$

Question

Tengo una pregunta y una propuesta de solución. Por favor, dígame si estoy en lo cierto.

Problema: Demuestra que si $A$ y $B$ son matrices reales y el sistema de ecuaciones $AX=B$ tiene más de una solución, entonces tiene infinitas.

Solución: Supongamos que el sistema de ecuaciones $AX=B$ tiene más de una solución. Esto significa que la forma de matriz de escalón reducido de la solución de la ecuación $AX=B$ tiene al menos una variable libre, porque si todas las variables fueran variables pivotantes, entonces nos quedaría un conjunto de valores únicos para las variables y por lo tanto una solución. Por lo tanto, con al menos una variable libre, tenemos que la(s) variable(s) puede(n) variar sobre los números reales. Por lo tanto, hay infinitas soluciones.

¡Gracias!

Answer 1

Otra forma más abstracta de verlo es la siguiente: supongamos que el sistema tiene al menos dos soluciones distintas. Entonces existen $X_1$ y $X_2$ tal que $AX_1 = AX_2 = B$ con $X_1 \ne X_2$ . Así $A(X_1 - X_2) = 0$ mientras que $X_1 - X_2 \ne 0$ . Sea $C$ sea el conjunto de columnas no evanescentes de $X_1 - X_2$ . $C \ne \phi$ desde $X_1 - X_2 \ne 0$ . Sea $D$ sea cualquier matriz formada seleccionando sus columnas de $span(C)$ . Entonces $AD = 0$ Así que $A(X_1 + D) = AX_1 + AD = AX_1 = B$ pero es evidente que el número de tales matrices $D$ es infinito, por lo que el número de matrices $X_1 + D$ también es infinita. QED y Salud.

Answer 2

El "infinitamente muchos" viene del hecho de que hay infinitamente muchos escalares (presumiblemente, ya que probablemente estás trabajando sobre los números reales o complejos; si consideras la posibilidad de trabajar sobre un finito el resultado obviamente no es verdadero). Puede ver esto sin jugar con columnas y formas escalonadas, de la siguiente manera.

Sea $x_0,x_1$ sean dos soluciones diferentes: $Ax_0=B=Ax_1$ . Entonces poniendo $x_\lambda=\lambda x_1+(1-\lambda)x_0$ se tiene por linealidad $Ax_\lambda=\lambda Ax_1+(1-\lambda)Ax_0=\lambda B+(1-\lambda)B=B$ Así que $x_\lambda$ también es una solución, y hay infinitas opciones para $\lambda$ . Y estos son todos diferentes, ya que $x_\lambda=x_\mu$ implica $0=x_\lambda-x_\mu=(\lambda-\mu)(x_1-x_0)$ que dado que $x_0\neq x_1$ sólo puede cumplirse si $\lambda-\mu$ .