Condicionamiento en una variable aleatoria continua

Question

Tengo una variable aleatoria $N(a)$, que depende de un número $a$, y tiene la propiedad de que para todo $a \in \mathbb{R}$, $$P(N(a) \geq 1) = p$$ El ejemplo que tengo en mente es $N(a)$ es $T-a$ donde $T$ es el tiempo de la primera llegada en un proceso de Poisson después de $a$, por eso no hay dependencia de $P(N(a) \geq 1)$ en $a$. Sin embargo, no asumamos nada como esto - $N(a)$ es solo una variable aleatoria para cada $a$.

Sea $Z$ una variable aleatoria continua independiente de todos los $N(a)$. Me gustaría afirmar que $$P(N(Z) \geq 1) = p.$$ Mi pregunta es cómo podría justificar esto.

Es natural intentar justificarlo escribiendo

$$P(N(Z) \geq 1) = \int_{-\infty}^{+\infty} P(N(a) \geq 1) f_Z(a) ~ da = p$$ pero lo que no sé es cómo se puede justificar la primera igualdad. Si las variables fueran discretas, esto se seguiría mediante la condicionación, pero ¿cómo se condiciona en el evento $Z=a$ de probabilidad $0$?

Answer 1

Si $f_Z(a)>0$, entonces la densidad condicional de $N(Z)$ dado $Z=a$ es $$f_{N(Z)|Z=a}(x) = \frac{f_{N(Z),Z}(x,a)}{f_Z(a)},$$ entonces $$\mathbb P(N(Z)\geqslant 1|Z=a) = \int_1^\infty\frac{f_{N(Z),Z}(x,a)}{f_Z(a)}\mathsf dx. $$ Note que el denominador es independiente de $x$. Entonces multiplicando por $f_Z(a)$ e integrando con respecto a $a, obtenemos $$\int_{-\infty}^\infty \mathbb P(N(Z)\geqslant 1|Z=a)f_Z(a)\mathsf da = \int_{-\infty}^\infty \int_1^\infty f_{N(Z),Z}(x,a)\mathsf dx\mathsf da. $$ Dado que $\mathbb P(N(Z)\geqslant 1|Z=a)=\mathbb P(N(a)\geqslant 1)$, el lado izquierdo es igual a la integral en tu publicación. Utilizando el teorema de Fubini para intercambiar el orden de la integración (lo cual está justificado ya que el integrando es no negativo y la integral es finita, siendo una probabilidad), tenemos $$ \begin{align*} \int_{-\infty}^\infty \int_1^\infty f_{N(Z),Z}(x,a)\mathsf dx\mathsf da &= \int_1^\infty \int_{-\infty}^\infty f_{N(Z),Z}(x,a)\mathsf da\mathsf dx\\ &= \int_1^\infty f_{N(Z)}(x)\mathsf dx\\ &= \mathbb P(N(Z)\geqslant 1), \end{align*} $$ el resultado deseado.

Answer 2

Nota: $Z:\Omega\mapsto \mathbb{R} \implies N_Z \in (N_a)_{a\in \mathbb{R}}$

Por lo tanto, podemos pensar en $P(N_Z\geq 1)$ como otra variable aleatoria $Y:=g(Z(\omega))$, por lo tanto $Y$ es una función de $Z$.

Basándonos en tu definición de $N_a$, parece que $Y=p, c.s.$, ya que:

$$P(Y\neq p)\equiv P(P(N_Z\geq 1)\neq p), \text{ pero } \{a\in \mathbb{R}:P(N_a\geq 1)\neq p\}=\emptyset \implies P(Y\neq p)=P(\emptyset)=0$$

Por lo tanto, $P(N_Z\geq 1)=p, c.s.$

$\square$