Me gustaría obtener un poco de ayuda en la interpretación de la ecuación principal de la superconformal álgebra (en $2+1$ dimenions) como se indica en la ecuación 3.27 en la página 18 de este documento. Estoy familiarizado con la supersimetría álgebra, pero todavía esta notación se ve muy oscuro para mí.
- En la ecuación anterior para un fijo $i$, $j$, $\alpha$, $\tilde{\beta}$ el último término, $-i\delta_{\alpha , \tilde{\beta}} I_{ij}$ $\cal{N} \times \cal{N}$ matriz de $\cal{N}$ ampliado de la supersimetría en $2+1$ dimensiones. Es esta la interpretación correcta?
(..donde supongo que $I_{ij}$ es el vector de la representación de $so(\cal{N})$ as, $(I_{ij})_{ab} = - i(\delta _{ia}\delta _{jb} - \delta _{ib} \delta _{ja})$..)
- Ahora si lo anterior es así, entonces existe implícita una $\cal{N} \times \cal{N}$ matriz identidad se multiplica el primer término, $i \frac{\delta_{ij}}{2} [(M'_ {\mu \nu}\Gamma_\mu \Gamma_\nu C)_{\alpha \tilde{\beta}} + 2D' \delta _ {\alpha \tilde{\beta}}] $ ?
Así que supongo que la ecuación es para ser leído como una igualdad entre el 2 $\cal{N} \times \cal{N}$ matrices. a la derecha?
Es que hay una errata en esta ecuación que el primer término debe tener $(M'_ {\mu \nu}\Gamma^\mu \Gamma ^ \nu C)$ en lugar de todo el espacio-tiempo de los índices de $\mu, \nu$ a estar abajo?
Supongo que en $M' _{\mu \nu}$ los índices de $\mu$ $\nu$ $0,1,2...,d-1$ $d-$dimensiones espacio-tiempo (...aquí $d=3$..) y para este rango en el Euclideanized QFT (como es el caso aquí) nadie puede reemplazar a $M'_{\mu \nu} = \frac {i}{4}[\Gamma _ \mu , \Gamma _ \nu]$. Es ese derecho?
Uno es el uso de la convención aquí donde la firma es $\eta_{\mu \nu} = diag(-1,1,1) = \eta ^{\mu \nu}$ y el Gamma matrices son tales que $\Gamma^0 = C = [[0,1],[-1,0]], \Gamma ^1 = [[0,1],[1,0]], \Gamma ^ 2 = [[1,0],[0,-1]]$ y la carga de la conjugación de la matriz $C$ satisface $C^{-1} \Gamma ^\mu C = - \Gamma ^{\mu T}$ $[\Gamma ^\mu , \Gamma ^\nu]_+ = 2 \eta ^\mu \eta ^\nu$
A continuación, $M^{\mu \nu}\Gamma _\mu \Gamma _ \nu = -3i [[1,0],[0,1]]$
Ahora para un caso específico de esta ecuación, me referiré a la parte inferior de la página $8$ y la parte superior de la página $9$ de este documento.
- En la física de la literatura ¿cuál es la ecuación implícita/convención que define la representación de $SO(N)$ es más alto pesos $(h_1, h_2, ... , h_{[\frac{N}{2}]})$?
Yo no podía encontrar una ecuación en cualquier lugar que define el $h_i$s
- ¿Cómo elegir los pesos de las $Q$ operador como se indica en la parte inferior de la página 8 de determinar los valores de $i$ $\alpha$ que va en el lado derecho de la anti-conmutación ecuación descrita en la primera mitad?
Y ¿cómo se determina de la misma para el $S$ operador que debido a Euclideanization está relacionado con como , $S^{'}_{i \alpha} = (Q^{'i \alpha})^\dagger $ (...supongo que la subida y bajada de los índices no importa aquí...)
- Ahora se les da la opción como se indica en la parte inferior de la página 8 en el papel de arriba y el S-Q Hermiticity relación y el anti-conmutación relación en la primera mitad de esta pregunta, ¿cómo puede uno demostrar la relación reclamado en la parte superior de la página 9, que es, efectivamente, $[Q^{'i\alpha},S^{'}_{i\alpha}]_+ = \epsilon_0 - (h_1 + j)$
Supongo que $\epsilon_0$ es el cargo en virtud de la $D'$ de la primera mitad definido para un operador $A$ (decir) como $[D',A] = -\epsilon _0 A$ aunque yo no puedo ver la definición precisa de $h_i$s y $j$ en términos de la RHS de la Q-S anti-conmutación relación como se describe en la primera mitad de la pregunta.
- Hace nada acerca de la anterior $[Q^{'i\alpha},S^{'}_{i\alpha}]_+ = \epsilon_0 - (h_1 + j)$ depende de cuál es el valor de $\cal{N}$? Supongo que podría ser $2$ como en este papel o $3$ y seguiría siendo la misma expresión.
Sería genial si alguien puede ayudar con esto.
