En la universidad el semestre pasado me pidieron que demostrar que $\sin1$ (1 radián que es) es irracional, y terminó simplemente mediante la Expansión en Series de Taylor. Este método proporciona una solución muy rápida, pero tengo curiosidad por saber si alguien tiene un método para probar esto sin necesidad de hacer uso de la Expansión en Series de Taylor. Me siento como si al hacerlo debe ser posible el uso de algunos de la teoría de números, pero estoy de baja en ideas como un enfoque alternativo a la pregunta.
Nota:
Si alguien está interesado en mi solución con la Expansión en Series de Taylor (aunque no es el objetivo de mi pregunta), aquí está :
De $$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$$ Vemos que $$ \alpha = \sen 1 = 1 - \frac{1^3}{3!} + \frac{1^5}{5!} - \puntos $$ Dado enteros $a$ $b$ si $\alpha = \frac{a}{b}$, entonces se sigue que $b!\alpha \in \mathbb{Z}$, e $b!\alpha = C + D$ donde $C \in \mathbb{Z}$ y tenemos : $$ D = \begin{cases} \pm(\frac{1}{b+1} - \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + \dots) \text{ if %#%#% is even}\\ \pm(\frac{1}{(b+1)(b+2)} - \frac{1}{(b+1)\dots(b+4)} + \dots ) \text{ if %#%#% is odd}\\ \end{casos} $$ En cada caso podemos ver que $b$, lo que nos da una contradicción. Por lo tanto, tenemos que $b$ es irracional. $0 < D < 1$$
