Dejemos que $f = x^5 + x^4 + x^3 -2 x^2 + x + 1$ . Hace $\text{Gal}(f)$ igual a $A_5$ ?

Question

Dejemos que $f = x^5 + x^4 + x^3 -2 x^2 + x + 1$ . Hace $\text{Gal}(f)$ igual a $A_5$ ?

Calculando el discriminante de $f$ Me sale $\text{Disc}(f)=42849=207^2$ . Así que $\text{Gal}(f)$ es un subgrupo de $A_5$ . Además, como $5$ divide $|\text{Gal}(f)|$ , $|\text{Gal}(f)|$ podría ser $5,15,20,60$ .

También me he dado cuenta de que $\text{Gal}(f)$ debería tener 3 ciclos. La razón es que $f$ modulo $3$ tiene exactamente dos raíces: $\bar{1},\bar{2}$ . Como resultado, $\bar{f} = (x^3 + x^2 + 2x + 2)(x+2)(x+1)$ .

Así que eso descarta $5$ y $20$ . ¿Cómo debo proceder a partir de aquí?

Answer 1

En realidad, no hay ningún subgrupo de orden 15 en $S_{5}$ . (Ver ici )

Para demostrarlo, supongamos que existe $H\leq S_{5}$ con $|H|=15$ . Desde cada grupo con orden $15$ es cíclico , $H=\langle \sigma\rangle$ para algunos $\sigma\in S_{5}$ . Pero si consideramos la descomposición en ciclos de $\sigma$ su orden no puede ser 15.