¿Si $X + X^T$ es positiva definida, $X^{-1} + X^{-T}$ también es definida positiva?

Question

¿Es cierto o hay un contraejemplo?

Answer 1

$X + X^T$ es iff definida positiva para cada vector distinto de cero $v$, $v^T (X + X^T) v = 2 v^T X v > 0$. En particular, implica $X$ es invertible. $w = X v$, Esto es equivalente a $w^T X^{-1} w > 0$ para todos los vectores no cero $w$ y así a $X^{-1} + (X^{-1})^T$ positiva definida.

Answer 2

Puede reescribir $$ X ^ {-1} + X ^ {-T} = X ^ {-T} (X + X ^ T) X ^ {-1}. $$ Para un % de vector $x\ne0$sigue $$ x ^ T (X ^ {-1} + X ^ {-T}) x = x ^ TX ^ {-T} (X + X ^ T) X ^ {-1} x = (X^{-1}x)^T(X+X^T)(X^{-1}x) > 0, $$ $X^{-1}x\ne0$ $X+X^T$ es positiva definida.

Answer 3

Sugerencia: $$\langle \,(X + X^{T}) v, v \rangle = \langle X v, v\rangle + \langle v, X v\rangle$ $ $w= X^{-1}w $ la expresión anterior se convierte en $$ \langle w, X^{-1} w\rangle + \langle X^{-1}w, w\rangle= \langle \,(X^{-1} + X^{-T}) w, w \rangle$ $

OBS: Ambas condiciones son más fuertes que el % de condiciones equivalentes $\sigma(X),\, \sigma(X^{-1}) \subset\{z\ | \ \mathcal{Re}z > 0 \}$