Permutar las filas de una matriz invertible para que 2 submatrices concretas sean invertibles

Question

_{Esta pregunta es similar a otra anterior: <a href="https://math.stackexchange.com/questions/36010/gauss-elimination-with-constraints">Eliminación de Gauss con restricciones</a>}

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Dado un $n \times n$ matriz $M$ y un número $1 \leq m \leq n-1$ la particionamos como una matriz de bloques:

$$M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}$$

donde $A$ es un $m \times m$ matriz y $D$ es un $(n-m) \times (n-m)$ matriz. Decimos entonces que $M$ es $m$ -bien si ambos $A$ et $D$ son invertibles.

Dada cualquier matriz invertible $M \in GL_n(\mathbb{F})$ y un número $1 \leq m \leq n-1$ ¿es siempre posible permutar las filas de $M$ para hacerlo $m$ -bien ?

Nota: Sólo me importa el caso $\mathbb{F}=\mathbb{Z}_p$ Pero he formulado la pregunta en términos más generales porque creo que no importa cuál sea el ámbito.

Answer 1

Utilizando la expansión de Laplace, $\det M$ es una suma de términos de la forma $ \pm \det(A) \det(D)$ sobre todas las formas de particionar las filas (véase por ejemplo http://accessscience.com/content/Determinant/188900 (el término "expansión de Laplace" se utiliza a veces para la expansión cofactorial a lo largo de una única fila o columna, pero en realidad es más general). Así, si $\det(A) \det(D)$ era siempre 0, $\det(M)$ también sería 0.