¿Existe un $$0<x<1$$ tal que $$\forall q \in \mathbb{Q^+}$$ $$q^x \in \mathbb{Q^+}$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No puede ser. En primer lugar, si $x$ es racional, digamos $a/b$ donde $a,b$ son relativamente primos, dejemos que $q=p$ sea un número primo. Entonces $q^x$ es irracional, porque el $b$ -La raíz de un número entero es racional si es un número entero.
Sin embargo, $x$ no puede ser irracional, ya que se deduce de la teorema de los seis exponenciales que si $p,q,r$ son tres primos distintos, y $p^x,q^x,r^x$ son todos racionales, entonces efectivamente $x$ es un número entero.
(Espero que haya una prueba elemental bajo el supuesto mucho más fuerte de su pregunta. Además, para evitar desvíos no deseados, es posible que quieras restringir $q$ a la positivo racionales).
