Demostrar que la ecuación de $1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}$ no tiene una raíz múltiple.

Question

Demostrar que la ecuación de $$1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}$$cannot tiene una raíz múltiple.

Utilizando la inducción y el resultado que $f(x)=0$ tienen una raíz $\alpha$ $r\implies f'(x)=0$ multiplicidad tiene raíz $\alpha$ $r-1,$ demostró que la ecuación no puede tener una raíz múltiple de orden $\ge3.$ de la multiplicidad

Por favor ayúdeme a resolver $n=2$

Answer 1

$$f(x)=1+x+\dots +\frac{x^n}{n!}$$ so $$f'(x)=f(x)-\frac{x^n}{n!}$$ Suppose $r$ is a multiple root. As you said, then $f'(r)=0$. But $$f'(r)=f(r)-\frac{r^n}{n!}=-\frac{r^n}{n!}=0$$ So we must have $$r=0$$ which is impossible as $$f(0)=1\ne 0$$