Que $f:[a,b]\to\mathbb R$. Evaluar $\lim_{n\to\infty}\int_a^bf(x)\sin(nx)\,dx$

Question

Que $f:[a,b]\to\mathbb R$. Evaluar $\lim_{n\to\infty}\int_a^bf(x)\sin(nx)\,dx$.

$f$ es continuamente diferenciable.

Me dicen que esto puede hacerse utilizando cálculo básico. Es difícil para mí ver donde debo comenzar. Quisiera algunos consejos.

Answer 1

Si la función de $f$ es continua, el límite es de $0$. Acaba de darse cuenta de que $f$ es uniformemente continua, y que en cada pequeño intervalo de $[2k\pi/n,(2k+2)\pi/n]$ la función de $sin(nx)$ integral $0$ mientras $f$ es casi una constante. De modo que la integral estará cerca de $0$.

En general considerar la constante a trozos función obtenida reemplazando $f$ con su valor medio en cada uno de esos intervalos pequeños... y demostrar que la integral de la diferencia (entre el $f$ y la función constante a trozos) llega a cero. En la práctica usted quiere encontrar $f_n$ tal que $$ \left\vert \int_a^b f(x) \sin(nx)\right\vert \le \left\vert \int_a^b f(x)-f_n(x)) \sin(nx)\right\vert + \left\vert \int_a^b f_n(x) \sin(nx)\right\vert = \int_a^b \lvert f(x)-f_n(x)\rvert < \varepsilon. $$

Answer 2

Este (clásica) resultado va por el nombre de Riemann-Lebesgue lema. En el comentario anterior he citado a una exposición de la prueba de $f$ que es Riemann integrable. Aquí considero que el caso general de los $f\in L^1(\mathbb{R^d})$ y su transformada de Fourier $$\widehat{f}(\xi) = \int_{\mathbb{R^d}} f(x)e^{-2\pi ix\xi} dx. $$ El reclamo es que el$\widehat{f}(\xi)\rightarrow 0$$|\xi|\rightarrow\infty$.

Deje $\xi' = \frac{1}{2}\frac{\xi}{|\xi|^2}$, de modo que $|\xi'|\rightarrow 0$$|\xi|\rightarrow\infty$. A continuación, la traducción de la invariancia de la integral

\begin{align} \widehat{f}(\xi) &= \int_{\mathbb{R^d}} f(x-\xi')e^{-2\pi i(x-\xi')\xi} dx\\ &= \int_{\mathbb{R^d}} f(x-\xi')e^{-2\pi ix\xi} e^{2\pi i\xi'\xi} dx =\int_{\mathbb{R^d}} -f(x-\xi')e^{-2\pi ix\xi} dx \end{align} desde $e^{2\pi i\xi'\xi} = e^{\pi i} =-1$. Ahora podemos escribir \begin{align} \widehat{f}(\xi) &= \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R^d}} [f(x)-f(x-\xi')]e^{-2\pi i(x-\xi')\xi} dx \end{align} de modo que $| \widehat{f}(\xi)|\le ||f-f_{\xi'}||_{L^1}$ where $f_{\xi'}(x)=f(x-\xi')$ is the translation of $f$ by $\xi'$. Hemos terminado porque las traducciones son continuas con respecto a la norma. Vamos a hacer esta declaración precisa.

Para $f\in L^1(\mathbb{R^d})$, $||f-f_{h}||_{L^1}\rightarrow 0$ como $h\rightarrow 0$. Utilizamos el hecho de que las funciones continuas con soporte compacto son densos en $L^1$. Deje $g\in C_0(\mathbb{R}^d)$ tal que $||f-g||\le\epsilon$,$||f_h-g_h||\le \epsilon$. Por (uniforme) la continuidad de la $g$,$||g-g_h||\rightarrow 0$$h\rightarrow 0$. reclamación de la siguiente manera por el triángulo de la desigualdad.

Answer 3

$\lim_{n\to\infty}\int_a^bf(x)\sin(nx)\,dx=-\frac{1}{n}\cos (nx)f(x)|_{a}^{b}+\int_{a}^{b}{\frac{1}{n}\cos (nx)f'(x)}$ % f de $$=-\frac{1}{n}\cos (nx)f(x)+\frac{1}{n^2}\sin(nx)f'(x)|_{a}^b-\int_{a}^b\frac{1}{n^2}\sin(nx)f''(x) dx$$ $$\cdots$%#%\displaystyle{\frac{1}{n}\cos (na) (a)-\frac {1} {n} \cos (nb) f (b) = 0} $$ Let us determine the value of the expression outside of the integration sign. Obviously $n\to 0). Un cálculo similar se sigue para las otras expresiones que no están de vuelta.

Si es de la función $ (as $ $f(x)$-diferenciable, $k$ pasos, se convertirá en una constante. Si es infinitamente diferenciable, entonces también se dividirá por una potencia muy grande de $k$ en cada paso. $n$, Después de cierto punto, todos los términos en esta representación serán $n\to\infty$.