Campo de la descomposición de $x^3-x^2-4x-1.$ $\mathbb{Q}$

Question

Supongamos que tenemos $f(x)=x^3-x^2-4x-1$ y $\alpha \in \mathbb{C}$ a la raíz de $f(x)$. (No sabemos el valor de $\alpha$.) Es fácil ver que $f(x)$ es irreducible en $\mathbb{Q}[x]$.

También es fácil de demostrar es una raíz de $-\frac{1}{1+\alpha}$ $f(x)$. Necesito mostrar $\mathbb{Q}(\alpha)$ es el campo de la descomposición de la $f(x)$. $f(x)$ Es separable, tenemos tres raíces distintas $\alpha,-\frac{1}{1+\alpha}, \gamma$. Así el campo de la descomposición es $\mathbb{Q}(\alpha,-\frac{1}{1+\alpha}, \gamma)=\mathbb{Q}(\alpha, \gamma)$. Cómo demuestro que esto es realmente igual a $\mathbb{Q}(\alpha)$ sin calcular en la realidad las raíces de $f(x)?$

Answer 1

Observe que la suma de las raíces es igual al coeficiente $x^2$, por ejemplo, $-1$. Así $\gamma$ puede expresarse en términos polinómicos de $\alpha$.

Answer 2

Ya tiene dos excelentes respuestas por Jef y de la Voluntad, pero yo realmente creo que vale la pena mencionar un método que usted puede memorizar y aplicar sin pensar en futuras situaciones.

Vamos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ ser las tres raíces de su irreductible cúbicos. El grupo de Galois es un subgrupo de la permutación grupo en $ \{ \alpha, \beta, \gamma \}$. Además, el grupo de Galois actúa transitivamente sobre las raíces, ya que la cúbico es irreductible. Así que hay dos posibilidades:

• El grupo de Galois es $S_3$, en cuyo caso el grado de la extensión es de seis, por lo que la división de campo es mayor que $\mathbb Q(\alpha)$.
• El grupo de Galois es $A_3$, en cuyo caso el grado de la extensión es de tres, por lo que la división de campo es igual a $\mathbb Q(\alpha)$.

Para distinguir entre los dos casos, considerar el discriminante de la cúbica: $$ \Delta = (\alpha - \beta)^2(\beta - \gamma)^2(\gamma - \alpha)^2.$$

• Si el grupo de Galois es $S_3$, entonces el extraño permutaciones en $S_3$ enviar $\sqrt{\Delta} \mapsto - \sqrt{\Delta}$, lo $\sqrt{\Delta}$ no se fija por el grupo de Galois, por lo tanto $\sqrt{\Delta} \notin \mathbb Q$.
• Si el grupo de Galois es $A_3$, entonces el grupo de Galois sólo contiene incluso permutaciones, que todo lo que envíe $\sqrt{\Delta} \mapsto + \sqrt{\Delta}$, lo $\sqrt{\Delta}$ es fijado por el grupo de Galois, por lo tanto $\sqrt{\Delta} \in \mathbb Q$.

Existe una fórmula para el discriminante en términos de los coeficientes de la cúbico. Si la cúbico es $$ f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d,$$ entonces el discriminante es $$ \Delta = b^2 c^2 - 4c^3 -4b^3 d - 27d^2 + 18bcd. $$ [Tenga en cuenta que esto se simplifica a $\Delta = -4c^3 - 27 d^2$ si $b = 0$, que es fácil de recordar.]

En tu ejemplo, $\Delta = 169$, lo $\sqrt{\Delta} = 13 \in \mathbb Q$, de ahí que el grupo de Galois es $A_3$, de ahí la división de campo de la es $\mathbb Q(\alpha)$.

Ni que decir, el método y las respuestas por la Voluntad y la Jef mostrar mucho más el ingenio de lo que he sugerido, pero aún así creo que es bueno tener una herramienta confiable que siempre se puede caer de nuevo.

Answer 3

Just for laughs, las raíces son $$ 2 \cos \left( \frac{\pi}{13} \right) + 2 \cos \left( \frac{5\pi}{13} \right), $$ $$ 2 \cos \left( \frac{3\pi}{13} \right) + 2 \cos \left( \frac{11\pi}{13} \right), $$ $$ 2 \cos \left( \frac{7\pi}{13} \right) + 2 \cos \left( \frac{9\pi}{13} \right). $$

Reuschle uses $x^3 + x^2 - 4 x + 1$, que es lo que se obtiene por el método de Gauss, consulte la página 15, jpeg a continuación. Recomiendo la Teoría de Galois por David R. Cox, en el capítulo 9 para una moderna exposición. Método introducido por Gauss en la Sección VII de la " Disquisitiones, unos 30 años antes de la Teoría de Galois. Gauss hizo algunos ejemplos, hace falta algo de práctica.

Por qué no: aquí es un jpeg de la AbeBooks sitio, mostrando cómo el fin de Reuschle(1875) como un libro de bolsillo en la demanda de la reimpresión. La reimpresión es una fuente en línea, que no tiene una gran biblioteca de la real viejos libros que hay en la ubicación de impresión. Yo realmente prefiero tener libros para leer en lugar de sólo en una pantalla de ordenador.

Escribí programas en noviembre y diciembre (2016) para hacer esto. Así que, aquí está toda la canción y de la danza para el grado 7, el primer 29:

jagy@phobeusjunior:~$ ls -l | grep septic | grep greedy
-rwxrwxr-x  1 jagy jagy   370501 Dec  4 14:11 septic_cyclic_gauss_greedy
-rw-rw-r--  1 jagy jagy    23990 Dec  4 14:12 septic_cyclic_gauss_greedy.cc
-rw-rw-r--  1 jagy jagy    23989 Dec  4 14:12 septic_cyclic_gauss_greedy.cc~
jagy@phobeusjunior:~$ 



jagy@phobeusjunior:~$  ./septic_cyclic_gauss_greedy  29
 g to the e  12
    1   12    generator  
    2   28
    3   17    generator  
    1   12   17   28
   a   2

 h1  
    1   12   17   28
 h2  
    2    5   24   27
 h4  
    4   10   19   25
 h8  
    8    9   20   21
 h16  
   11   13   16   18
 h32  
    3    7   22   26
 h64  
    6   14   15   23


=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

  h1_1     4    0    1    0    0    2    0    0
  h1_2     0    1    0    1    0    0    1    1
  h1_4     0    0    1    0    1    1    1    0
  h1_8     0    0    0    1    2    0    1    0
 h1_16     0    2    0    1    0    0    0    1
 h1_32     0    0    1    1    1    0    0    1
 h1_64     0    0    1    0    0    1    1    1

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

   h1_1     4    0    1    0    0    2    0    0
   h2_2     4    0    0    1    0    0    2    0
   h4_4     4    0    0    0    1    0    0    2
   h8_8     4    2    0    0    0    1    0    0
 h16_16     4    0    2    0    0    0    1    0
 h32_32     4    0    0    2    0    0    0    1
 h64_64     4    1    0    0    2    0    0    0

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

 constant               1              0              0              0              0              0              0              0
 linear               0              1              0              0              0              0              0              0
 fifth                 0            100             11             50             15              5             25             50

 sixth               400             21            225             56            105            300            126             91

 seventh                84           1225            294            756            392            189            477            742


7  sofar               84           1225            294            756            392            189            477            742


6  sofar              484           1246            519            812            497            489            603            833

 fourth                36              0             16              1              4             24              6              4

 cubed                 0              9              0              3              0              0              1              3

 squared               4              0              1              0              0              2              0              0
5  sofar              484             46            387            212            317            429            303            233

 table  
       1       3/4         0       1/4    -233/4

       1       1/6         0       1/6    -101/2

       1         0      1/12      1/24    -143/8

       1         0         0       1/4    -317/4

       1         3         0         1      -212

       1         0      1/16      1/16   -387/16


=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

       1         0         0         0        -7

       0         1         0         0        28

       0         0         1         0        14

       0         0         0         1      -289

       0         0         0         0         0

       0         0         0         0         0

4  sofar              232             46            275            205            289            261            261            205

3  sofar              232            298            275            289            289            261            289            289

2  sofar              288            298            289            289            289            289            289            289

1  sofar              288            289            289            289            289            289            289            289

0  sofar              289            289            289            289            289            289            289            289

 confirm               0              0              0              0              0              0              0              0

  x^7 + x^6 - 12 x^5 - 7 x^4 + 28 x^3 + 14 x^2 - 9 x + 1
 constant 289
   p  29 p.root  2 exps 12^k 
 list of the 4 exponents 
       1      12      17      28


   $$   x^7 + x^6 - 12 x^5 - 7 x^4 + 28 x^3 + 14 x^2 - 9 x + 1, \; \;  p = 29, \; \;  r = 2, \; \; 12^k  $$


gp-pari: 

  x^7 + x^6 - 12 * x^5 - 7 * x^4 + 28 * x^3 + 14 * x^2 - 9 * x + 1


 x = t + (1/t)  + t^12 + (1/t^12)

jagy@phobeusjunior:~$ 

parisize = 4000000, primelimit = 500509
? f = x^7 + x^6 - 12 * x^5 - 7 * x^4 + 28 * x^3 + 14 * x^2 - 9 * x + 1
%1 = x^7 + x^6 - 12*x^5 - 7*x^4 + 28*x^3 + 14*x^2 - 9*x + 1
? polroots(f)
%2 = [
-3.347297326211866604824677822 + 0.E-28*I, 
-1.453219237250277575521353021 + 0.E-28*I, 
-1.063840303785358166816481464 + 0.E-28*I, 
 0.1723984388388905398234384116 + 0.E-28*I, 
 0.2395267590849948773703028220 + 0.E-28*I, 
 1.700463948582122544295969145 + 0.E-28*I, 
 2.751967720741494385672801928 + 0.E-28*I]~
? 

algunas de estas raíces son $$ 2 \cos \left( \frac{2 \pi}{29} \right) + 2 \cos \left( \frac{24 \pi}{29} \right) = 2 \cos \left( \frac{2 \pi}{29} \right) - 2 \cos \left( \frac{5 \pi}{29} \right) \approx 0.239526759 $$ $$ 2 \cos \left( \frac{4 \pi}{29} \right) + 2 \cos \left( \frac{48 \pi}{29} \right) = 2 \cos \left( \frac{4 \pi}{29} \right) + 2 \cos \left( \frac{10 \pi}{29} \right) \approx 2.75196772 $$ $$ 2 \cos \left( \frac{8 \pi}{29} \right) + 2 \cos \left( \frac{96 \pi}{29} \right) = 2 \cos \left( \frac{8 \pi}{29} \right) - 2 \cos \left( \frac{9 \pi}{29} \right) \approx 0.1723984 $$ $$ 2 \cos \left( \frac{16 \pi}{29} \right) + 2 \cos \left( \frac{192 \pi}{29} \right) = -2 \cos \left( \frac{13 \pi}{29} \right) - 2 \cos \left( \frac{11 \pi}{29} \right) \approx -1.06384 $$ $$ 2 \cos \left( \frac{32 \pi}{29} \right) + 2 \cos \left( \frac{384 \pi}{29} \right) = -2 \cos \left( \frac{3 \pi}{29} \right) - 2 \cos \left( \frac{7 \pi}{29} \right) \approx -3.347297326 $$ $$ 2 \cos \left( \frac{64 \pi}{29} \right) + 2 \cos \left( \frac{768 \pi}{29} \right) = 2 \cos \left( \frac{6 \pi}{29} \right) + 2 \cos \left( \frac{14 \pi}{29} \right) \approx 1.70046 $$ $$ 2 \cos \left( \frac{128 \pi}{29} \right) + 2 \cos \left( \frac{1536 \pi}{29} \right) = 2 \cos \left( \frac{12 \pi}{29} \right) - 2 \cos \left( \frac{ \pi}{29} \right) \approx -1.4532 $$