Demostrar que $U(n)$ es un colector de

Question

Me gustaría probar que $U(n)$ es un múltiple, donde

$$U(n) = \{A \in M_n(\mathbb C): A^*A = I\}.$$

Para ello he pensado teniendo en cuenta la función $M_n(\mathbb C)\to M_n(\mathbb C)$ tal que $A\mapsto A^*A$.

Y luego Si pruebo que la identidad es un valor regular de esta función que estoy hecho.

Mi problema es que estoy luchando en demostrando.

He probado a tener en cuenta que $(A^*A)_{ij}=\langle v_i,v_j\rangle $ donde $v_i$ son los vectores de la columna de $A$ pero de allí no sé cómo proceder.

¿Alguien tiene alguna sugerencia?

Gracias

Answer 1

Tenga en cuenta que para su función $A\mapsto A^*A$, el derivado no puede ser embelesa como hermítica todos $A^*A$ $A \in M_n(\mathbb C)$. Así que en lugar de ello tenemos en cuenta el % de asignación $F: M_n(\mathbb C) \to H_n(\mathbb C)$, donde $F(A) = A^*A$ y $H_n(\mathbb C)$ es el espacio de matrices hermítica. Entonces

$$DF_A(V) = \frac{d}{dt} \bigg|_{t=0} (A+tV)^* (A+ tV) = V^*A + A^*V.$$

Ahora que $A\in U(n)$. Entonces queremos saber si $DF_A : M_n(\mathbb C) \to H_n(\mathbb C)$ es sobreyectiva. De hecho es: no $B \in H_n(\mathbb C)$, $W = \frac 12 AB \in M_n(\mathbb C)$ cumple

$$DF_A(W) = \frac 12 B^*A^*A + \frac 12 A^* AB = \frac 12 B^*+ \frac 12 B = B$$

$A^*A = I$ y $B^* = B$. Así $I\in H_n(\mathbb C)$ es un valor regular de $F$, y así $U(n)= F^{-1}(I)$ es un múltiple liso.

Answer 2

Sugerencia Denotar la función $A \mapsto A^* A$ $\Phi$. Entonces, desde $$\Phi(A)^* = (A^* A)^* = A^* A^{**} = A^* A = \Phi(A),$$ we can regard $\Phi$ as a map $$M(n, \Bbb C) \to H(n, \Bbb C),$$ where here $$H(n, \Bbb C) := \{A \in M(n, \Bbb C) : A^* = A\}$$ denotes the (real) subspace of all Hermitian matrices. So, one can prove that $I$ is a regular value of $\Phi$ (so regarded) by showing that that the tangent map $T_A \Phi$ of $\Phi$ at every point $A \in U (n) $ is surjective. (As usual, we can again regard as a map $M(n, \Bbb C) \to H(n, \Bbb C)$ a través de la identificación canónica habitual del espacio tangente a un espacio del vector en un punto con el espacio del vector sí mismo).