¿Es cierto que un conjunto en, digamos, $n$-dimensional espacio euclidiano es compacto y convexo iff es su intersección con una línea vacía, un único punto o un segmento de línea cerrada?
Respuestas
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Sí. "Sólo si" es fácil, así que supongo que la intersección de a $K$ con cualquier línea está vacía, de un solo punto, o cerrado segmento de línea. A continuación, $K$ es convexo: si $x \in K$$y \in K$, considerar la intersección de $K$ con la línea a través de $x$$y$.
Para mostrar que $K$ se cierra: podemos suponer wlog que $K$ interiores (de lo contrario se incrusta en ${\mathbb R}^k$ algunos $k < n$), y (por la traducción) que $0$ es en el interior. Si $p \in \overline{K} \backslash K$, puedo reclamar $tp \in K$$0 \le t < 1$, lo que implica $p \in K$. Es decir, supongamos $ B_\delta \subseteq K$ donde $B_\delta$ es la bola abierta de radio $\delta$ centrada en $0$. Entonces si $p' \in K$$\|p' - p\| < \eta = \delta (1 - t)/t$,$t p \in t p' + B_{t \eta} = t p' + (1-t) B_\delta \subseteq K$.
Finalmente, para mostrar que $K$ son los siguientes: supongamos $x_n \in K$$\|x_n\| \ge n$. A continuación,$y_n = x_n/\|x_n\| \in K$$\|y_n\| = 1$. Pasando a una larga, podemos suponer que $y_n \to y$, en $K$ porque $K$ es cerrado. Ahora para cualquier entero positivo $m$, $m y_n \in K$ para todos lo suficientemente grande $n$, y de nuevo desde $K$ es cerrado, $m y = \lim_{n \to \infty} m y_n \in K$. Para la intersección de $K$ con la línea a través de $0$ $y$ es ilimitado, lo cual es una contradicción.
Lockie
Puntos
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Conjuntos convexos están conectados. Tenga en cuenta que el conectado subconjuntos de a$\mathbb{R}$: $\emptyset$, los únicos, los intervalos, los rayos, y toda la línea. La intersección de dos conjuntos convexos es convexa (mismo es la sustitución de "convexo" con cualquiera de "pacto" "cerrado", "limitada" o "conectado"). Teniendo en cuenta que (de media)abrir segmento de línea no está cerrado, que rayos (y el conjunto de líneas) son no acotados, de ello se sigue que si un conjunto en $\mathbb{R}^n$ es convexo y compacto (cerrado y acotado), ya que las líneas son convexas y conectado su intersección con el lado convexo, conjunto compacto necesariamente va a ser uno de los tres deseado tipos de conjunto.
Está claro que si $A\subseteq\mathbb{R}^n$ no puede ser convexo, entonces no es una recta cuya intersección con $A$ no estar conectado. Si $A$ es convexa, pero no se limita, a continuación, contiene un cerrado ray (esto no debería ser demasiado difícil de justificar). Supongamos $A$ es convexo y acotado pero no puede ser cerrado, por lo que hay algún límite de punto de $x$$A$$x\notin A$. Entonces al menos uno de los siguientes: (i) hay algunos hyperplane $P$ de la dimensión de $n-1$ tal que $A\cap P=\emptyset$ $x\in P$ o (ii) cada hyperplane $P$ de la dimensión de $n-1$ $x\in P$ contiene una línea de $L$ cuya intersección con $A$ a (media)abrir segmento de línea. Desde "cerrado y acotado=compacto" en $\mathbb{R}^n$, en el caso (ii), hemos terminado, y en el caso (i), de la línea a través de $x$ normal al plano $P$ tendrá su intersección con la a $A$ es un (medio)abrir el segmento de la línea, y de nuevo estamos por hacer. Así, vemos que si $A$ tiene la propiedad de que para cada línea $L$, $A\cap L$ está vacío, un singleton o un cerrado segmento de línea, a continuación, $A$ es convexo y compacto. (Jugar con él un poco para justificar las afirmaciones hechas en este párrafo. Si te quedas atascado, hacer un comentario, y voy a ser más tarde para ayudar.)
Por lo tanto, son equivalentes condiciones.
