Tasa de descomposición de Fourier de funciones del indicador

Question

La transformada de Fourier de la función de indicador de un intervalo $$\widehat{\chi}_{[a,b]}(\xi)=\int^b_{a} e^{i \xi x}dx=\frac{e^{i\xi b}-e^{i\xi a}}{i\xi}$ $ tiene decaimiento $O(|\xi|^{-1})$ $|\xi|\rightarrow \infty$. Por otro lado, para general compacto conjunto de $K$ de medida de Lebesgue positiva, lema de Riemann-Lebesgue $\widehat{\chi}_{K}(\xi)=o(1), |\xi|\rightarrow \infty$.

Mi pregunta es, ¿existe compacto conjunto de $K$ tal que $\widehat{\chi}_{K}(\xi)$ no decaiga como $O(|\xi|^{-1})$ $|\xi|\rightarrow \infty$? Gracias.

EDIT: Es posible encontrar tal $K$ sin punto interior?

Answer 1

Considere la posibilidad de la unión de los intervalos de $[(2j+1) 2^{-n^2}, (2j+2) 2^{-n^2}]$, $j=0 \ldots 2^{2n-2}-1$, $n=1,2,\ldots$, e $\{0\}$.

EDIT: Vamos a $I(j,n) = [(2j+1) 2^{-n^2}, (2j+2) 2^{-n^2}]$ $U(N) = \bigcup_{n=N+1}^{\infty}\bigcup_{j=0}^{2^{2n-2}-1} I(j,n)$ Entonces $\widehat{\chi_{I(j,n)}}(2^{n^2} \pi) = 2^{1-n^2} i/\pi$. Para $m < n$, $\widehat{\chi_{I(j,m)}}(2^{n^2} \pi) = 0$. Por otro lado, $\left|\widehat{\chi_U(n)}(\xi)\right| \le m(U(n)) \le 2^{-n^2}$. Por lo $\left|\widehat{\chi_K}(2^{n^2} \pi)\right|\cdot (2^{n^2} \pi) = \Omega(2^{n})$ $n \to \infty$

EDIT: Si quieres un $K$ con vacío interior, se puede proceder como sigue. Empezar con $K_0$ anterior (que es la unión de $\{0\}$ e intervalos con racional de los extremos) y una secuencia $\xi_m$ tal que $|\widehat{\chi_{K_0}}(\xi_m)| > m |\xi_m|$, y una secuencia $\{r_n\}$ de irrationals denso en $K_0$. Voy a elegir a los números racionales $a_n,b_n$ $a_n < r_n < b_n$ y tome $K_n = K_{n-1} \backslash (a_n, b_n)$, y, a continuación, $K = \bigcup_n K_n$ tendrá vacío interior.

Por el hecho de que $r_n$ es irracional, $r_n \notin K_{n-1}$ (en cuyo caso tomamos $a_n$$b_n$, de modo que $(a_n,b_n) \cup K_{n-1} = \emptyset$) o $r_n$ está en el interior de $K_{n-1}$, en cuyo caso se desee $[a_n,b_n] \subset K_{n-1}$. En el primer caso $\widehat{\chi_{K_n}} = \widehat{\chi_{K_{n-1}}}$, en el segundo $\widehat{\chi_{K_n}} = \widehat{\chi_{K_{n-1}}} - \widehat{\chi_{(a_n,b_n)}}$. Ahora $|\widehat{\chi_{(a_n,b_n)}}(\xi)| \le b_n - a_n$, por lo que si $b_n - a_n$ es lo suficientemente pequeño y $|\widehat{\chi_{K_{n-1}}}(\xi_m) > (m/2) |\xi_m|^{-1}$ $m = m_1, m_2, \ldots, m_{n-1}$, $|\widehat{\chi_{K_{n-1}}}(\xi_m)| > (m/2) |\xi_m|^{-1}$ para esos mismos $m$,$t_n < m_1$. Ahora desde $|\widehat{\chi_{(a_n,b_n)}}(\xi)| = O(1/|\xi|)$, podemos tomar $m_n$ a cualquier suficientemente grande $m$ y tendremos $|\widehat{\chi_{K_n}}(\xi_{m_n})| > (m_n/2) |\xi_{m_n}|^{-1}$. En el límite tendremos $|\widehat{\chi_K}(\xi_{m_n})| \ge (m_n/2) |\xi_{m_n}|^{-1}$ todos los $n$.