¿Puede $Y$ y $\frac{X}{Y}$ ser sin correlación ni $X$ $Y$ es constante?

Question

Supongamos que tengo dos variables $X$ y $Y$ $Y>0$. ¿Puede el % de variables aleatorias $Y$y $\frac{X}{Y}$ a ser sin correlación, es decir, $$\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}(Y)\mathbb{E}\left(\frac{X}{Y}\right).$$ This seems counterintuitive since both are dependent on $Y $. But I just want to make sure there is not some weird case I am not thinking of. Actually, I just realized as I type that this is true if $X $ or $Y $ is a constant. How about in cases other than constant $X $ or $Y$ entonces? Supongo que esta pregunta simplifica a cuáles son las condiciones para %#% $ #%

Answer 1

Supongo que $Y$ es una variable de aleatoria positiva valor no constante. Supongamos que $\operatorname{E}(Y^2)<\infty$ para que las correlaciones pueden tener sentido. Supongamos que $U$ tiene una distribución normal estándar e independiente del $Y$. Que $X=UY$.

Luego es independiente del $U=\dfrac X Y$; $Y$ por lo tanto, sin correlación con $Y$.

Answer 2

Un caso simple, donde su identidad es cierto: dejar $Y$ ser algunos nonconstant y RV positivo y que $X:=cY$ $c$distinto de cero por ciento. Entonces $E(X)=cE(Y)=E(X/Y)E(Y)$.

Answer 3

Qué tal esto: Si $Y=X$ (es decir, representan la misma variable aleatoria). Entonces $X/Y=1$ y $Y$ y $1$ son sin correlación.