Un subespacio $X$ de un espacio de convergencia $Y$ es estrictamente denso si para cada a $y \in Y$ y cada filtro $\mathcal F$ convergentes a $y$, hay un filtro de $\mathcal G$ contiene $X$ que converge a $y$ tal que $\bar{\mathcal G} \subseteq \mathcal F$. Aquí, $\bar{\mathcal G}$ es sólo el filtro generado por el cierre de todos los elementos de a $\mathcal G$.
Quiero demostrar que si $Y$ es un espacio topológico y $X$ es denso es $Y$, $X$ es estrictamente densa. Este es mi argumento actual: Supongamos $\mathcal F$ converge a $y$. A continuación, $\mathcal U_y \subseteq \mathcal F$ donde $\mathcal U_y$ es el barrio de filtro de $y$. Desde $X$ es denso en $Y$, se cruza cada conjunto abierto que contiene a $y$, por lo tanto, hay un filtro de $\mathcal G$ que contiene $X$ y todos los elementos de a $\mathcal U_y$. Desde $\mathcal U_y \subseteq \mathcal G$, $\mathcal G$ converge a $y$. Ahora, de alguna manera tengo que mostrar que $\bar{\mathcal G} \subseteq \mathcal F$, pero no tengo idea de cómo ir sobre él. Algún consejo?
Addendum: El filtro de $\mathcal G$ en mi argumento anterior es la generada por los conjuntos de la forma $U \cap X$ donde $U$ es un conjunto abierto que contiene a $y$. El filtro de $\bar{\mathcal G}$ es generado por el cierre de estos conjuntos.
