¿Dónde la prueba para los anillos comutativos se descomponen en el anillo no conmutativo cuando mostrando sólo dos ideales implica que el anillo es un campo?

Question

Sabemos que en un anillo conmutativo, si la única ideales son triviales y todo el anillo, entonces el anillo es un campo, que es demostrado por cada ideal que está contenido en un ideal maximal, que es demostrado por el lema de Zorn.

Pero en la no-conmutativa caso, podemos encontrar ejemplos de lo contrario que la única ideales son triviales y todo el anillo, pero hay elementos en el anillo que no tiene inverso multiplicativo.

Mi pregunta es: ¿de dónde viene la prueba de anillos conmutativos de romper hacia abajo en la no-conmutativa anillo?

Creo que la única posibilidad es la de unos ideales no puede estar contenido en un ideal maximal, es eso cierto?

Answer 1

Deje $R$ ser un anillo con unidad, tome $r\in R \setminus \{0\}$, y supongamos que $(r) = R$ como ideales.

En la conmutativa caso, esto significa que $r$ es invertible. Por qué? Debido a que cada elemento de a $(r)$ es de la forma $ar$, por lo que tenemos $ar=1$ algunos $a\in R$.

Pero en la no-conmutativa caso, si estamos buscando a dos caras de los ideales, de los elementos de $(r)$ incluir todos los elementos de la forma $\sum_{i=1}^n a_i r b_i$ (y más, si no asumimos $R$ unital). Así que la declaración $(r)=R$ no es tan fuerte ya.

Considere el ejemplo de una $2\times 2$ matriz de anillo de más de un campo. Un rango de $1$ matriz no es invertible, pero genera todo el anillo como un ideal, porque podemos producir todo el rango de $1$ matrices multiplicando y, a continuación, escribir fácilmente cualquier matriz como una suma de la fila $1$ matrices.

Por otro lado, si asumimos que no hay no-trivial de la izquierda ideales, por ejemplo, un teorema similar se mantiene: a la izquierda o a la derecha-simple unital anillo es un anillo de división. Pero de nuevo, esto es porque el director de la izquierda y la derecha ideales tiene una buena estructura, mientras que el director de dos caras ideales no.

Todavía hay mucho que decir acerca de simples anillos, pero esta se lleva a formas más complicadas, como Artin-Wedderburn.

Answer 2

Por un contraejemplo tome el primer % de álgebra de Weyl $\mathbf C[p,q]$donde $pq-qp=1$, que es una bajoálgebra ${\rm End}_{\mathbf C}\mathbf C[X]$. Aquí actúa en polinomios $p$ $p f(X)=f'(X)$ $q$ actos y $qf(X)=Xf(X)$. Debe medirse aún significa el $q,p$ $pq-qp=1$ $(p)=(q)=1$ no están inversible. El punto es que en casos no conmutativo, incluso principales ideales no son así de simple: es igual a todas las sumas posibles $(a)$ $\sum\limits_{i=1}^n a_i ab_i$ y una relación de la forma $\sum\limits_{i=1}^n a_i ab_i=1$ no implica invertibility.