Dar ejemplos de clopen los sistemas (abiertos y cerrados)

Question

Me preguntaba si alguien podría ayudar con el siguiente problema. Creo que tengo una respuesta, pero todavía estoy un poco inseguro por lo que cualquier ayuda sería muy apreciada.

(a) Dar un ejemplo de un espacio topológico $(X,\mathcal{T})$ y un subconjunto $A$ $X$ que es a la vez abierto y cerrado.

(b) Dar otro ejemplo donde la $A$ no es ni vacío ni la totalidad de $X$.

(c) Dar un ejemplo de un espacio topológico $(X,\mathcal{T})$ y un subconjunto $A$$X$, que no es ni abierto ni cerrado.

Respuesta: (a) Deje $X$ ser cualquier conjunto con cualquier topología $\mathcal{T}$, vamos a $A=\emptyset$.

(b) Vamos a $X=(1,2)\cup(3,4)$, $A=(1,2)$ y $\mathcal{T}$ ser la relativa topología heredada de la topología usual en $\mathbb{R}$.

(c) Deje $X=\mathbb{R}$ con la métrica usual y deje $U_{n}=(0,1+\frac{1}{n})$.A continuación, tome $A=\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty} U_{n}=(0,1]$.

Answer 1

Sus respuestas son totalmente correctas. No veo, sin embargo, por qué decidiste escribir su respuesta a (c) intersección infinita.

Para demostrar que $A = (0,1]$ no es abierta, es suficiente para mostrar que el $1$ no tiene ningún barrio abierto en $A$. Para demostrar que no está cerrado $A$, basta para mostrar que el $0$ no tiene ningún barrio abierto fuera de $A$.