Sea$T_\mathbb{R}$ una matriz real$n \times n$, y deje que$T_\mathbb{C}$ sea la misma matriz pero considerada como una compleja. ¿Cuál es la forma más fácil de ver que$\min_{T_\mathbb{C}} \in \mathbb{C}[t]$ es igual a la imagen de$\min_{T_\mathbb{R}} \in \mathbb{R}[t]$ bajo el mapa tautológico$\mathbb{R}[t] \to \mathbb{C}[t]$?
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Deje $p_{\mathbb C}(T)$ ser el polinomio mínimo de a$A$$\mathbb C$ ; por definición, este es el monic polinomio de menor grado en $\mathbb C[T]$ para que la evaluación en $A$ da cero. Tome la base $\{1,i\}$ $\mathbb C$ como un verdadero espacio vectorial. Deje $I$ $n \times n$ matriz identidad y considerar la (izquierda) $\mathrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb R)$-módulo de $\mathrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb C)$. En este módulo, los elementos $1 \cdot I$ $i \cdot I$ $\mathrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb R)$- linealmente independientes (hacer el check coeficiente de sabios).
Ahora escribir $$ p_{\mathbb C}(T) = T^k + \alpha_1 T^{k-1} + \cdots + \alpha_k. $$ Podemos escribir $\alpha_j = \beta_j + i \gamma_j$, a partir de la cual podemos definir $$ p_{\mathbb C}^1(T) = T^k + \beta_1 T^{k-1} + \cdots + \beta_k, \quad p_{\mathbb C}^i(T) = \gamma_1 T^{k-1} + \cdots + \gamma_k, \quad \Rightarrow \quad p_{\mathbb C}(T) = p_{\mathbb C}^1(T) + i p_{\mathbb C}^i(T). $$ Conectar $A$, vemos que desde $p_{\mathbb C}(A) = 0$, por la independencia lineal de $1 \cdot I$$i \cdot I$,$p_{\mathbb C}^1(A) = p_{\mathbb C}^i(A) = 0$. Desde $\deg p_{\mathbb C}^i < \deg p_{\mathbb C}$, por la definición del complejo mínima polinomio, $p_{\mathbb C}^i = 0$. Por lo tanto,$p_{\mathbb C} = p_{\mathbb C}^1 \in \mathbb R[T]$.
Escribí el argumento de esta manera porque en realidad esto se generaliza : vamos a $K/F$ ser un campo finito de extensión y $A \in \mathrm{Mat}_{n \times n}(F)$. Entonces si $p_K(T)$ (resp. $p_F(T)$) denota el polinomio mínimo de a $A$ $K$ (resp. $F$), tenemos $p_K(T) = p_F(T)$ ; la prueba es el mismo que el anterior, basta con sustituir la base $\{1,i\}$ de la $\mathbb C/\mathbb R$ de los casos por una $F$-base de $K$ que contiene $1$.
(Tenga en cuenta que yo no uso el hecho de que $K$ es cerrado, ni que $K/F$ Galois, como en el caso de $\mathbb C/\mathbb R$ ; todo lo que necesita es que la extensión es finita para permitir el uso de álgebra lineal.)
Espero que ayude,
Set $T = T_\mathbb{C}$, y deje $p = \min_T$. Sin pérdida de generalidad, $p$ es monic. Desde $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrado, se sigue que no se puede descomponer$$V = \bigoplus_\lambda V^{(\lambda)}.$$Now, the minimal polynomial is given by$$p(t) = \prod_{\lambda \in \text{Spec}(T)} (t - \lambda)^{m_\lambda},$$where $m_\lambda$ is the smallest integer such that $T^{m_\lambda}$ annihilates $V^{(\lambda)}$.
Ahora podemos demostrar que $p$ se compone de coeficientes reales. Para ello, basta probar que $m_\lambda = m_{\overline{\lambda}}$ cualquier $\lambda \in \mathbb{C}$. Pero $\overline{T} = T$$T \in \mathbb{R}^{n \times n}$, y la demanda sigue inmediatamente después de observar que$$(T - \lambda)^k(v) = 0 \iff (T - \overline{\lambda})^k(\overline{v}) = \overline{0} = 0.$$Hence, the minimal $k$ to kill a $\lambda$-eigenvector is the same as the minimal $k$ to kill a $\overline{\lambda}$-vector propio.
Como alternativa, se puede utilizar la observación de que, si $1, T_\mathbb{R}, \dots, T_\mathbb{R}^{n-1}$ son linealmente independientes, entonces también lo son la $1, T_\mathbb{C}, \dots, T_\mathbb{C}^{n-1}$.
