Pruebalo $13\vert(3^{n+1} +3^{n} +3^{n-1})$

Question

Probar que$3^{n+1} +3^{n} +3^{n-1}$ es divisible por$13$ para todos los valores integrales positivos de$n$

Answer 1

$3^{n+1}+3^n+3^{n-1}=3^{n-1}(**+**+**)$

¿¿¿Puedes verlo ahora???

Answer 2

Observe que$$1\bmod13=1,\\3\bmod13=3,\\9\bmod13=9,\\27\bmod13=1,\\81\bmod13=3,\\243\bmod13=9,\\...$ $ Los modulos se repiten periódicamente y la suma de un período es$13$.

Answer 3

Además del obvio enfoque de factorización, se puede razonar por inducción.

$$3^{(n+1)+1}+3^{(n+1)}+3^{(n+1-1)}=3\cdot 3^{n+1}+3\cdot 3^n+3\cdot 3^{n-1}=3 \cdot (3^{n+1}+3^n+3^{n-1}),$ $ Y$$3^{1+1}+3^{1}+3^{1-1}=13.$ $ Por lo tanto$$S_{n+1}=3\cdot S_n\text{, and }S_1=13.$ $