¿Cuáles son las derivaciones de la álgebra de continuo de las funciones de un topológico colector?
Un supermanifold es un local rodeado de espacio (X,O) cuyo subyacente espacio es un suave colector de X, y cuya sheaf de funciones localmente se parece a una gradual álgebra conmutativa que es un exterior de álgebra sobre la gavilla de las funciones lisas. El artículo de la wikipedia tiene una descripción detallada. La n-lab post es un poco más delgado, pero por señalar es que probablemente ha puesto en marcha acontecimientos que van a modificar a ser el superior del artículo. Ahh, la Incertidumbre de Heisenberg en la internet.
Lo que ninguno de estos artículo de decir es ¿por qué se debe el colector de ser suave?
Una vez que yo pensaba que entendía la razón. Ahora no estoy tan seguro. La razón por la que me criaron con vino de mirar algunos ejemplos de mapas de supermanifolds. Por simplicidad sea X un simple colector de considerar (trivial) supermanifold. Deje $\mathbb{R}^{0|2}$ ser el supermanifold cuyo subyacente colector es sólo un punto y cuyo anillo de funciones es el exterior de álgebra $A=\mathbb{R}[\theta_1, \theta_2]$ donde $\theta_i$ es una extraña generador. El álgebra a es de cuatro dimensiones como un verdadero álgebra.
Un mapa de supermanifolds $\mathbb{R}^{0|2} \to X$ es lo mismo que un mapa de álgebras de $O(X) \to A$ donde $O(X)$ es de las funciones X (de una a-ser-determinado tipo). Puesto que X es un trivial supermanifold este es el mismo par de lineal mapas de $a,b$:
$$ f \mapsto a(f) + b(f) \theta_1 \theta_2$$
Es fácil ver que $a$ todos los de por sí es un álgebra de mapa de $O(X) \to \mathbb{R}$. Esta es la misma cosa como evalutation en un punto de $x_0 \in X$. Una vez conocí a un referencia para esto, pero me parece que no puede encontrar. Creo que es cierto como se ha dicho, que el álgebra homomorphisms $O(X) \to \mathbb{R}$ están en bijection con los puntos del colector $X$ donde $O(X)$ es lisa o funciones continuas, sin tomar en cuenta cualquier topología. Si esto es falso, entonces debemos tomar en cuenta la topología así. En cualquier caso, $a(f) = f(x_0)$ es la evaluación en $x_0$. ¿Qué es $b$?
Mediante el álgebra de la propiedad de la asignación anterior podemos ver que $b$ debe satisfacer: $$b(fg) = f(x_0) b(g) + b(f) g(x_0).$$ En otras palabras, $b$ es una derivación de $O(X)$ en el punto de $x_0$.
Así que ahora el argumento es algo similar, variando sobre todo el mapa de $\mathbb{R}^{0|2}$ $X$vemos que las funciones deben tener todas las primeras derivadas en todos los puntos y así debe de ser $C^1$-funciones. El uso más extraño colectores $\mathbb{R}^{0|4}$, $\mathbb{R}^{0|6}$, etc. vemos que se debe tener arbitrariamente alto derivados y así debe ser suave.
¿O no?
Con el fin de realmente hacer este tipo de argumento retiene el agua, creo que usted necesita saber algo como "no hay derivaciones de la álgebra de funciones continuas". Usted necesita el ingenuo continuo de la versión de la teoría de ser trivial o obviamente inútil. De lo contrario, no veo una buena motivación para eso uno debe de funcionar a la perfección, por eso es el único interesante de la situación. Así que mi pregunta es:
¿Cuáles son exactamente las derivaciones (teniendo en cuenta la topología o no) de la álgebra de continua de las funciones de topológico, colector de X?
Esto sin duda es equivalente a conocer el local en cuestión, es decir, cuando se $X = \mathbb{R}^n$. ¿Por qué es la ingenua teoría de la continua supermanifolds se portó mal?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Deje $X$ ser un espacio topológico y deje $d:C(X)\to C(X)$ ser un no-necesariamente continua en derivación. Deje $f\in C(X)$ y deje $x\in X$. Quiero mostrar que la $d(f)(x)=0$, y para ello es suficiente para considerar el caso en que $f$ es un valor real y no negativa, para cada elemento de a $C(X)$ $\mathbb C$- combinación lineal de estas funciones. Pero en ese caso no existe una función de $g\in C(X)$ tal que $f=g^2$, y, a continuación, $d(f)(x)=2g(x)d(g)(x)=0$ porque $g(x)=0$.
(Tenga en cuenta que por [Sakai, Shôichirô. En una conjetura de Kaplansky. Tôhoku De Matemáticas. J. (2) 12 de 1960 31--33. MR0112055 (22 #2913)] es una derivación de una $C^*$-álgebra es automáticamente continuo, de modo que la imposición de la continuidad en este contexto no cambia mucho)
Aquí hay una prueba de la definición. (No creo que tenga nada que ver con la compacidad.) Demuestremos que la derivación$\delta:C(X)\to C(X)$ desaparece para cualquier variedad topológica$X$. De hecho,$\delta(1)=0$ como de costumbre, por lo que basta con mostrar que siempre$f\in C(X)$ desaparece en$x\in X$, también lo hace$\delta(f)$. Para ello, basta con escribir$f$ como un producto$f=g_1g_2$ con$g_1(x)=g_2(x)=0$. Tome$g_1=\sqrt{|f|}$,$g_2=f/g_1$, y defina$g_2$ como cero donde está indefinido.
Suponiendo que el colector tiene una suave estructura (no garantizado, lo sé), entonces no puede usted argumentar de la siguiente manera? Cualquier derivación de la continua funciones debe restringir a una derivación de la subalgebra de suave funciones y sabemos lo que todos los que son (es decir, la diferenciación), y que no se extienden a los álgebra de funciones continuas. Hmm, para completar el argumento tan simple como sea posible, a continuación, quiero usar el hecho de que las funciones lisas son densos en continuo, de manera que supongo que yo también quiero trabajar con continua derivaciones.
Pero, por supuesto, me puede quitar mi primera suposición, ya que cualquier colector localmente tiene una suave estructura y derivaciones son fenómenos locales! Y yo también tenga en cuenta que Mariano cita a un resultado que dice que cualquier derivación debe ser continua. Voila!
