Objetivo de incrustación de Yoneda

Question

Estoy aprendiendo sobre funtores representables de Notas de Vistoli gracias a Respuesta de Charles Siegel .

Veo que cualquier categoría $\mathcal C$ puede ser incrustado en $\text{Hom}\\,(\mathcal C^{op}, \mathcal Set)$ mediante la incrustación de Yoneda. Me pregunto si hay ejemplos en los que esta última categoría sería interesante en sí misma, además de para estos fines.

Answer 1

¡Mucho! Las categorías de esa forma (cuando C es pequeño) suelen llamarse "categorías de preseaf". Muchas categorías interesantes son categorías de preseaf, como los conjuntos simpliciales, los conjuntos cúbicos, los conjuntos simétricos, etc. En particular, cualquier categoría de preseaf es un topos, y muchos topos interesantes son categorías de preseaf. La categoría de conjuntos G para cualquier grupo discreto G es otro buen ejemplo, ya que G puede considerarse como un grupoide, y por tanto como una categoría. Los preensamblajes en un espacio topológico también son interesantes, aunque sólo sea como medio para la construcción de gavillas. Y simplicial presheaves en una categoría C (que son los mismos que los presheaves en $C\times \Delta$ ) son a veces más fáciles de trabajar (una vez que se les pone una buena estructura de modelo) que las láminas simpliciales.

Muchas otras categorías interesantes son subcategorías completas de alguna categoría de preseaf; de hecho, una categoría es una subcategoría completa de una categoría de preseaf en cuanto tiene una subcategoría densa pequeña. Así, en particular, cualquier categoría accesible es una subcategoría de una categoría de preforma. Esto incluye casi cualquier categoría "algebraica", como grupos, anillos, campos, álgebras de Lie, etc.

Answer 2

Claro, toma la categoría de conjuntos simpliciales, que es Hom(Δ op , Set). ¡No solemos pensar en ello como una forma de estudiar la categoría Δ! Hay muchos otros ejemplos en esta línea en la teoría de la homotopía.

Edición: Para ampliar un poco más lo que tenía en mente con el último comentario, echa un vistazo a mi respuesta aquí" donde describo una presentación de la categoría de monoides, es decir, una forma de incrustarla como subcategoría reflexiva de una categoría de preseaf (de hecho, la categoría de conjuntos simpliciales). Este punto de vista se encuentra más comúnmente en la teoría de la homotopía, porque para obtener una buena noción, no estricta, de, digamos, monoide topológico, uno no puede simplemente escribir operaciones con relaciones que se requieren para mantener en la nariz. Este tipo de presentación como objetos de una categoría de preseaf que envían algunos diagramas a diagramas límite de homotopía es una forma de resolver la cuestión.

Answer 3

Varias categorías de grafos son categorías de preseaf.

La categoría de grafos dirigidos es (equivalente a) presheaves en $C$ , donde $C$ es una categoría con dos objetos, llámalos $V$ y $E$ y dos morfismos paralelos $s, t : V \to E$ . Si nunca has visto este ejemplo, deberías calcular por ti mismo que un functor $G : C^{op} \to \text{Set}$ es lo mismo que un grafo dirigido. Puedes encontrar esto "Visita guiada a los topos de los gráficos" iluminador.

Otras categorías de grafos son (casi) categorías de preseaf. Por ejemplo, tomemos el monoide $M$ de todos los endomapas $\lbrace 0,1\rbrace \to \lbrace0,1\rbrace$ . Se trata de un monoide de cuatro elementos cuyos elementos son la identidad $id$ dos mapas constantes $0$ y $1$ y el mapa "twist" $t$ . Ver $M$ como categoría (un objeto, cuatro morfismos). Los presheaves en $M$ son lo que a veces se llama gráficos "reflexivos". Como esto no es evidente a primera vista, permítanme explicarlo un poco. Consideremos un fuctor $F : M^{op} \to \text{Set}$ que es lo mismo que un conjunto $S$ con una acción de derecho de $M$ . El gráfico correspondiente $G$ tiene como vértices el conjunto $V = \lbrace x \in S \mid x \cdot 0 = x\rbrace$ de elementos fijados por la acción del mapa constante $0$ (ejercicio: los puntos fijados por el mapa constante $0$ son los mismos que los puntos fijados por el mapa constante $1$ ). Los bordes de $G$ son los elementos de $S$ . Un borde $e \in S$ tiene como origen el vértice $e \cdot 0$ y el objetivo $e \cdot 1$ . Pero como también tenemos la acción del mapa de torsión $t$ la situación es simétrica: a cada arista $e$ pasando de $e \cdot 0$ a $e \cdot 1$ corresponde a la arista opuesta $e \cdot t$ pasando de $(e \cdot t) \cdot 0 = e \cdot 1$ a $(e \cdot t) \cdot 1 = e \cdot 0$ . Así que estamos hablando de simétrico gráficos. Nuestros grafos pueden ser degenerados en el sentido de que una arista $e$ podría ser su propio opuesto (y entonces también es un bucle ya que $e \cdot 1 = e \cdot 0$ ). Los gráficos son reflexivo porque se permite que un homomorfismo entre ellos "aplaste" las aristas a los vértices, lo cual es otro ejercicio de cálculo de transformaciones naturales.

Todo esto y más (quizás demasiado) se puede encontrar en:

Las categorías de espacios pueden no ser espacios generalizados, como se ejemplifica en los grafos dirigidos F. William Lawvere, Revista Colombiana de Matemáticas, XX (1986) 179-186. (Reeditado en: Reimpresiones en Teoría y Aplicaciones de las Categorías, nº 9 (2005) pp. 1-7 )

Answer 4

Acabo de pensar en otra: Los modelos de Kripke de la lógica intuicionista son (muy estrechamente relacionados con) presheaves en el conjunto de mundos posibles. La interpretación de la lógica intuicionista en un modelo de Kripke coincide con la lógica interna del topos de preseaf correspondiente.