Si dos posets tienen los mismos conjuntos abiertos densos, ¿son equivalentes como nociones de forzamiento?

Question

Supongamos que $\mathbb{P}_0=(P,\leq_0)$ y $\mathbb{P}_1=(P,\leq_1)$ son ordenaciones parciales (en sentido débil, es decir, relaciones reflexivas y transitivas) sobre el mismo conjunto subyacente $P$ y tal que $\leq_0$ es más fuerte que $\leq_1$ es decir, $p\leq_0q$ implica $p\leq_1 q$ . Nótese que esto implica que cualquier $\leq_0$ -subconjunto denso $D$ de $P$ también es $\leq_1$ - y se ha vuelto más denso.

Supongamos, además, que siempre que $D$ es un $\leq_1$ -subconjunto abierto denso de $P$ También es $\leq_0$ -dense. Nótese que entonces, cualquier $M$ -Filtro genérico $G$ para $\mathbb{P}_0$ genera un $M$ -filtro genérico para $\mathbb{P}_1$ .

Mi pregunta es, ¿son $\mathbb{P}_0$ y $\mathbb{P}_1$ ¿equivalentes como nociones de forzamiento? La cuestión clave parece ser que la incompatibilidad no tiene por qué conservarse en el paso de $\leq_0$ a $\leq_1$ .

Answer 1

No - deje $\mathbb{P}=2^{<\omega}$ con la ordenación habitual, $\mathbb{P}_0=\mathbb{P}\setminus\{\emptyset\}$ y $\mathbb{Q}$ sea la suma de lotería de $\mathbb{P}_0$ y el forzamiento de un punto. A continuación - identificando el "punto sordo" de $\mathbb{Q}$ con la cadena vacía - $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{P}$ tienen el mismo conjunto subyacente, y los mismos subconjuntos abiertos densos $^*$ pero es evidente que no son equivalentes.

Sospecho que este tipo de contraejemplo puede ser modificado para obtener algo menos trivial.

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$^*$ En concreto, si $D\subseteq\mathbb{P}$ es denso y abierto, entonces $\emptyset\in D$ y $D\cap \mathbb{P}_0$ es denso abierto en $\mathbb{P}_0$ . Mientras tanto, un denso abierto en $\mathbb{Q}$ es precisamente el "punto aburrido" junto con un subconjunto abierto denso de $\mathbb{P}_0$ .