Puntos fijos de un sistema dinámico

Question

Mi entendimiento fue que un punto fijo de un sistema dinámico$\dot{x} = f(x)$ es un punto$x$ tal que$f(x) = 0$ y que si un sistema (autónomo) comienza en un punto fijo se quedará allí.

Pero por ejemplo el sistema definido por$\dot{x} = 2x^{\frac{1}{2}}$ con la condición inicial$x(0) = 0$ tiene como una solución$x(t) = t^{2}$, que definitivamente no se queda en 0, aunque$2x^{\frac{1}{2}} = 0$ when% #% . Así que ¿dónde está mi pensamiento va mal?

Answer 1

Alojarse en el punto fijo es sin duda una de las posibles soluciones de la educación a distancia. Pero, para concluir que el sistema debe permanecer en el punto fijo, usted necesita saber que la solución es única. (El estándar de la suficiente condición para ello es que el lado derecho es una de Lipschitz continua en función de $x$; véase el Picard–Lindelöf teorema.)

Su ejemplo es un ejemplo clásico de una ODA con la no-solución única. (El lado derecho $2 \sqrt{x}$ no es Lipschitz en $x=0$.)