¿Una función periódica tiene que estar acotada?

Question

Que una función $f$ satisfacen la relación $f(x)=f(x+1)$ para todos $x\in \Bbb{R}$ . ¿Debe esta función estar siempre acotada?

Yo creo que sí, pero el libro no. Cualquier ayuda será muy apreciada. Tenga en cuenta que la función no tiene por qué ser continua.

Answer 1

No: $f(x) = 1/(1-x)$ para $x \in [0,1)$ . Ahora extienda periódicamente $f(x + n) = f(x)$ para los enteros $n$ .

Answer 2

Si se toma la función $$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \cot(x) & x \neq k \pi, k \text{ integer}\\0 & \text{otherwise}\end{array}\right.$$ Esta función se define para todos los $x \in \mathbb{R}$ y es periódica con periodo $\pi$ . Esta función no está acotada.

Por supuesto, si necesita $f$ sea continua, entonces si la función tiene (WLOG) período 1, está acotada en $[0,1]$ porque es continua. De ello se desprende que $f$ está acotado en todo $\mathbb{R}$ ya que es periódica.

Answer 3

Sólo para añadir otro ejemplo que tiene periodo $1$ y es ilimitado en cada intervalo abierto: $$f(x)=\begin{cases}\min\{\,n\in\mathbb N:nx\in\mathbb Z\,\}&\text{if $x\in\mathbb Q$}\\0&\text{otherwise}\end{cases} $$

Answer 4

Tome la función $g:[0,1)\to\mathbb{R}^+$ cuyo valor es $1$ en los números irracionales y $q$ para cualquier número racional de la forma $\frac{p}{q}$ con $\gcd(p,q)=1$ Entonces, defina $f(x)$ como $g(\{x\})$ . Desde $g$ no tiene límites, $f$ también es ilimitado.