Compacto y localmente Hausdorff, pero no localmente compacto

Question

Me pregunto si no es un compacto y Hausdorff localmente espacio de $X$ que no es localmente compacto, en el sentido de que cada punto tiene una vecindad de la base que consiste en conjuntos compactos.

Un espacio que se llama localmente Hausdorff si cada punto tiene una vecindad que es un espacio de Hausdorff bajo la topología de subespacio. Un espacio de este tipo no necesita ser Hausdorff. Sin embargo, si cada punto tiene un circuito cerrado Hausdorff barrio, entonces el espacio es Hausdorff. Un ejemplo es la línea real con dos orígenes. Si se restringe este espacio entre el$-1$$1$, se convierte en un tamaño compacto. Por desgracia, también es localmente compacto.

Si $X$ es Hausdorff compacto y, a continuación, también es localmente compacto, por lo que el Hausdorff barrios, todos deben ser adecuados subconjuntos de a $X$.

¿Alguien tiene una idea?

Answer 1

He aquí un contraejemplo a la conjetura.

Deje $Y=\Bbb N\times\Bbb N$, vamos a $p$ $q$ ser distintos puntos que no están en $Y$, y deje $X=Y\cup\{p,q\}$. Puntos en $Y$ son aislados. Para cada una de las $k\in\Bbb N$ el conjunto

$$B_p(k)=\{p\}\cup\left\{\langle m,n\rangle\in Y:n\ge k\right\}$$

es un básico de abrir nbhd de $p$. Para cada una de las $k\in\Bbb N$ el conjunto

$$B_q(k)=\{q\}\cup\left\{\langle m,n\rangle\in Y:m\ge k\right\}$$

es un básico de abrir nbhd de $q$. Por comodidad, por $n\in\Bbb N$ deje $S_n=\{n\}\times\Bbb N$.

Cada una de las nbhd de $p$ contiene un número finito de puntos de cada una de las $S_n$, y cada una de las nbhd de $q$ contiene un número finito de conjuntos de $S_n$. Por lo tanto, cada conjunto abierto que contiene tanto $p$ $q$ contiene un número finito de puntos de $Y$, e $X$ es compacto. $Y$ es Hausdorff, como son los conjuntos de $B_p(k)$$B_q(k)$, lo $X$ es Hausdorff localmente. Sin embargo, ninguno de los conjuntos de $B_p(k)$ contiene un compacto nbhd de $p$, lo $X$ no es localmente compacto. (De manera similar, $X$ no ser localmente compacto en $q$.)