Supongamos que $p$ es un número primo tal que $(p-1)/4$ y $(p+1)/2$ también son primos. Demuestre que $p=13$

Question

Supongamos que $p$ es un número primo tal que $(p-1)/4$ y $(p+1)/2$ también son primos. Demuestre que $p=13$ .

Mi enfoque:

Desde $p$ es primo, es de la forma $6k+1$ o $6k-1$ . Ahora bien, si $p$ es de la forma $6k-1$ puis $(p+1)/2 = 3k$ lo que no es posible ya que $3|3k$ .

Así que $p$ es de la forma $6k+1$ . Ahora $(p-1)/4 = 3k/2$ así que $2\mid k$ . Así que $p$ es de la forma $12k+1$ . Pero ahora, ¿cómo probar $k=1$ ?

¡Por favor, ayuda!

Answer 1

Al comprobar el $p = 6k-1$ caso, dices que obtienes una contradicción como $\frac{1}{2}(p+1) = 3k$ que no puede ser primo como $3 \mid 3k$ . Sin embargo, su argumento es defectuoso ya que $k$ podría ser $1$ . Sin embargo, si $k = 1$ tenemos $p = 5$ así que $\frac{1}{4}(p-1) = 1$ que no es primo. Por lo tanto, como concluyó, $p$ debe ser de la forma $6k+1$ .

Ha demostrado que si $p = 6k+1$ tenemos $\frac{1}{4}(p-1) = \frac{3k}{2}$ . Para que sea un número entero, necesitamos $2 \mid k$ como has notado, así que $k = 2l$ para algún número entero $l$ . Entonces, $\frac{1}{4}(p-1) = 3l$ . Para que esto sea primordial, necesitamos $l = 1$ Así que $k = 2$ y por lo tanto $p = 13$ . Sólo para recapitular, si $p$ es un primo de la forma $6k+1$ y $\frac{1}{4}(p-1)$ es primo, entonces $p = 13$ es primo. Aún así, debe comprobar que si $p = 13$ entonces $\frac{1}{2}(p+1)$ es primo.

Answer 2

Prueba con $12 k + \cdot$

Ahora las únicas posibilidades son $$ 12k+1, 12k+5, 12k+7, 12k+11$$

Desde $4$ divide $p-1$ , sólo $12k+1$ et $12+5$ son posibles y $(p-1)/4 = 3k \text {or} 3k + 1$ . Si $k\ne1$ puis $12k+1$ no es posible

También $(p+1)/2 = 6k+1$ o $6k+3$ . Esto demuestra que $6k+5$ no es posible.

Así que $p=12+1 = 13$ .

Answer 3

Porque, como $p=12k+1$ y $\frac{p-1}{4}$ es primo que significa $3k$ es primo, lo que sólo ocurre si $k=1$

Answer 4

¿Puede demostrar que $3|3k/2$ ?

Por cierto, deberías eliminar las posibilidades $p =2, 3$ cuando dices que $p$ tiene la forma $6k \pm 1$ . Además, cuando dices $3|3k$ , tienes que eliminar la posibilidad $k = 1$ .

Answer 5

Pista (para los que quieran ver lo que pasa):

$$q-1=\phi(\frac{p-1}{4})=\frac{p-1}{4}-1=\frac{p-5}{4}$$

$$s-1=\phi(\frac{p+1}{2})=\frac{p+1}{2}-1=\frac{p-1}{2}$$

(Donde $q-1=\phi(q)=\phi(\frac{p-1}{4})$ y $s-1=\phi(s)=\phi(\frac{p+1}{2})$ )