No-estándar de los modelos de la aritmética para Dummies

Question

¿Por qué es (1) una copia de $\mathbb{N}$ "seguido por" una copia de $\mathbb{Z}$ no (no estándar) modelo de la aritmética, ni (2) una copia de $\mathbb{N}$, seguido por una secuencia infinita de copias de $\mathbb{Z}$, pero (3) una copia de $\mathbb{N}$, seguido por infinidad densamente ordenó copias de $\mathbb{Z}$ es? (ver la entrada de la Wikipedia sobre la no-estándar de los modelos)

Puede intuitivamente se ve, o se explica en los diletantes términos?

Los axiomas relativos a la función sucesor mantenga en todos estos (pseudo-)modelos, ¿no?

Pero el axioma de inducción realmente me intriga! Ingenuamente, que se puede interpretar como se describe esencialmente una infinita fila de fichas de dominó: derribando el primero se deja caer todos ellos. Cómo puede ser entendido en la no-estándar (modelo 3), donde no es inmediata "contacto" entre los bloques de construcción? ¿Cuál es la "verdadera" interpretación de la inducción? Y por qué funciona en (3) pero no en (2) o (1)?

Answer 1

${\mathbb N}$ es más que un conjunto ordenado con el sucesor. Tiene además (y multiplicación). Deje $M$ ser un modelo no estándar; podemos identificar su inicio con ${\mathbb N}$. Dado $n\in M$ deje $[n]$ ser la colección de todos los $m$ que son finitas distancia de $n$. Nota: $[n]={\mathbb N}$ si $n$ es finito, y de lo contrario, $[n]$ tiene el mismo tipo de orden como ${\mathbb Z}$, debido a que cada número tiene un sucesor, y cada número distinto de cero tiene un predecesor.

Si $n$ es un infinito número no estándar, a continuación, $n+n$ también es infinito pero, por otra parte, es infinitamente lejos de $n$, por lo que acaba de $M$ no estándar podemos deducir que no hay mayor copia de ${\mathbb Z}$ en el orden de $M$.

También, $n$ o $n+1$ es aún, por lo que hay un $m$ tal que $m+m=n$ o $m+m=n+1$. Esta $m$ es infinita, por lo que la copia de $[m]$ ${\mathbb Z}$ es antes de la copia de $[n]$. Esto demuestra que no es la primera copia de ${\mathbb Z}$$M$.

Por último, dada la $n<k$ e infinitamente aparte, $n+k$ o $n+k+1$ es aún, y si $l$ es su mitad, a continuación,$n<l<k$, e $l$ es infinitamente aparte de los dos. Esto demuestra que entre cualquier dos copias de ${\mathbb Z}$ tenemos otro.

Hemos demostrado que, la eliminación de la original ${\mathbb N}$, y tomando el cociente que identifica todos los elementos en una clase de $[n]$ como un único punto, nos quedamos con un orden lineal que es denso en sí mismo y no tiene puntos finales. Si $M$ es contable, este orden es ${\mathbb Q}$. De lo contrario, es aún más complicado.