Para resolver esto tenemos que utilizar diferentes máquinas.
- Primero de todos, por lo general, tiene para todos los espacios: $H^1(X)\neq 0$ implica la existencia de un homotopically no trivial $X\to S^1$, debido a
$$[X,S^1] =[X, K(\mathbb Z,1)] = H^1(X;\mathbb Z).$$
Ahora topología diferencial, más específicamente la transversalidad, que te proporcionan los genéricos de la preimagen de un $k$-submanifold de una $n$-manifold es un $(n-k)$ - codimensional submanifold. En su caso el que hace una superficie.
Poner los dos primeros hechos, podemos ver que como un genérico preimagen de un punto de $f:M\to S^1$ en representación $f_*\in Hom(\pi_1M, \mathbb Z)\cong H^1(M)$ da una a dos caras (normal paquete tira hacia atrás) debidamente incorporado 1-codimensional submanifold $N\subset M$. $N$ define un no-trivial 1-codimensional $\mathbb Z/2$-homología de clase en $M$. Por lo tanto hay un componente conectado a $N_0\subset N$ que es homologically no trivial en $M$. En particular, $M-N_0$ está conectado.
Lo siguiente que quiero hacer es una cirugía en $N_0$ --- sucesivamente cirugía a cabo cualquier tipo de compresión de disco que usted puede encontrar. Si el nuevo trivial/la separación de los componentes de surgir: tiramos a la basura (aquí se utiliza el $P^2$-incompressibilty). Estas cirugías no cambiar la homología tipo de $N_0$.
Finalmente obtenga su superficie deseada en $M$.
Tenga en cuenta que 1. no poner ninguna hipótesis sobre el espacio, de 2. Y 3. trabajo para general suave de colectores, y en tan solo 4. en realidad debemos $dim(M)=3$.
Para más lecturas sobre este (al menos en el caso similar con orientability; a menudo puede adaptar las pruebas de la no-orientable caso o simplemente ignorar todo por la sustitución de $\mathbb Z$ $\mathbb Z/2$ y la adición de un primitivity condición) propongo :
