¿Las multiplicidades algebraicas y geométricas determinan el polinomio mínimo?

Question

Deje $T$ denotar algunos transformación lineal de un número finito de dimensiones del espacio $V$ (es decir, más de $\mathbb{C}$).

Supongamos que sabemos que los autovalores $\{\lambda_i\}_i$ y sus multiplicidades algebraicas $\{d_i\}_i$ geométrica y multiplicidades $\{r_i\}_i$$T$, podemos determinar el polinomio mínimo de a $T$ a través de estas informaciones?

Si la respuesta es no, ¿hay una buena manera de producir diferentes transformaciones lineales con los mismos valores propios y asociados algebraicas y geométricas de multiplicidades?

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Algunos backgraoud: es bien sabido que para una determinada transformación lineal, la mínima polinomio se divide el polinomio característico: $m_T|p_T$. Y me encuentro en un papel demostrado que $$m_T|\prod_i(x-\lambda_i)^{d_i-r_i+1}\ ,\ \ \ \ p_T|m_T\prod_i(x-\lambda_i)^{r_i}$$ Y entonces quiero saber si hay mejores resultados.

Answer 1

No, el algebraico y geométrico de multiplicidades no determinar el polinomio mínimo. Aquí es un contraejemplo: Considere las matrices de Jordan $J_1, J_2$: $$J_1 = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) ~~ J_2 = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $$ ambos tienen sólo un valor propio, es decir, 1, de manera que ambos han algebraica multiplicidad 4. También ambos tienen geométrico de multiplicidad 2, ya que hay 2 bloques de Jordan en ambas matrices (consulte el artículo de la Wikipedia sobre la forma normal de Jordan para obtener más información). Sin embargo, tienen diferentes mínima polinomios: $$\begin{align} m_{J_1}(x) = (x - I)^2 \\ m_{J_2}(x) = (x - I)^3 \end{align}$$

así que el algebraicas y geométricas de multiplicidades no determinar el polinomio mínimo.