Clase de equivalencia de polinomios

Question

$X$ es el conjunto de todos los polinomios sobre $ \mathbb {R}$ . Definimos una relación de equivalencia en $X$ de tal manera que $p$ ~ $q$ iff $p(0)=q(0)$ .

( $1$ ) ¿Cuál es la clase de equivalencia de $p(x)=x$ ?

( $2$ ) Dé una descripción de $X$ /~ mostrando un conjunto bijectivo a $X$ /~.

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Para ( $1$ ), creo que la clase de equivalencia es algo así como todos los polinomios con constantes cero, así que $p(x)$ s.t. $ \forall p(x)$ , $p(0) = 0$ .

Para ( $2$ ), he empezado definiendo una función $f:X \to $ $X$ /~ s.t. $p(x) = x$ para $ \forall x \in X$ pero estoy bastante seguro de que esto no está bien.

Answer 1

Basándonos en tus comentarios, vemos que se trata de un ejercicio de teoría de conjuntos, no de teoría de anillos.

Relaciones como las suyas $\rm\ p\sim q \smash[t]{\overset{\ def}{\iff}} f(p) = f(q),\: $ para $\rm\:f(p) = p(0),\:$ son siempre relaciones de equivalencia.

En general, supongamos que $\rm\,\ u\sim v\ \smash[t]{\overset{\ def}{\iff}}\, f(u) \approx f(v)\ $ para alguna función $\rm\,f\,$ y la relación de equivalencia $\,\approx.\, \ $ Entonces las propiedades de la relación de equivalencia de $\,\approx\,$ transporte (pullback) a $\,\sim\,$ a lo largo de $\rm\,f\,$ de la siguiente manera:

• reflexivo $\rm\quad\ f(v) \approx f(v)\:\Rightarrow\:v\sim v$

• simétrico $\rm\,\ u\sim v\:\Rightarrow\ f(u) \approx f(v)\:\Rightarrow\:f(v)\approx f(u)\:\Rightarrow\:v\sim u$

• transitivo $\rm\ \ \ u\sim v,\, v\sim w\:\Rightarrow\: f(u)\approx f(v),\,f(v)\approx f(w)\:\Rightarrow\:f(u)\approx f(w)\:\Rightarrow u\sim w$

Estas relaciones se denominan núcleos (de equivalencia) . Se llama $\, \sim\,$ el $\,(\approx)\,$ núcleo de $\rm\,f.$

Para $(2)$ tiene razón, la clase de equivalencia de $\rm\:p(x)=x\:$ es precisamente el conjunto de todos los polinomios $\rm\:q\:$ tal que $\rm\:q(0) = p(0) = 0.\:$

Sugerencia para $(3)\!:\:$ elegir un representante "simple" de cada clase de equivalencia, por ejemplo, uno de menor grado.

Answer 2

Tu solución para (1) es correcta. Para (2) una idea: definir una función

$$\phi:\Bbb R[x]\to \Bbb R\;,\;\;\;\phi(p(x)):=p(0)$$

(i) Comprobar $\,\phi\,$ es un homomorfismo de anillo suryente

(ii) Demuestre que $\,\ker\phi=\langle x\rangle\,$ = el ideal generado por el polinomio de identidad.

(iii) Utilice el primer teorema de isomorfismo.

Añadido por el comentario de OP : Un enfoque más sencillo (creo) podría ser definir un mapa de conjunto

$$\phi: X/\sim\;\longrightarrow\Bbb R\,\;\;,\;\;\phi[f(x)]:=f(0)$$

a) Comprueba que el mapa anterior está bien definido, es decir: $\,[f(x)]=[g(x)]\Longrightarrow f(0)=g(0)\,$

b) Compruebe el mapa $\,\phi\,$ es inyectiva y suryente.

Answer 3

Una pista: Si $p = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n$ entonces $p(0) = a_0$ . Así que dos polinomios son equivalentes si ...