Pregunta
Relacionado con un problema agradable conocí ayer, surge una pregunta:
Supongamos $\{f_n\}$ es una secuencia de asignaciones de la conexión de un completo espacio métrico $X$ a de un espacio métrico $Y$. Dado $f\colon X\to Y$ tal que $f_n(x_n)\to f(x)$ cada vez que una verdadera secuencia $x_n\to x$. Debe $\{f_n\}$ convergen uniformemente?
De acuerdo a Canez la sugerencia, es cierto que $f_n\to f$ pointwise y $f$ es continua (modificar mi feo respuesta, reemplace$+1/N_k$$+0$) incluso si $X$ es un espacio métrico arbitrario (sin asumir que $X$ está conectado o completo).
Si es demasiado abstracto, se puede considerar una de concreto, tales como $X=Y=\mathbb R$ o $X=Y=\mathbb C$.
Explicaciones
Si $X$ es compacto, es cierto que $f_n\to f$ uniformemente.
Demostrar por contradicción. Supongamos $\exists\epsilon_0>0,\forall N,\exists n\ge N$ tal que $$\sup_{x\in X}d_Y(f_n(x),f(x))>\epsilon_0$$
Podemos elegir un aumento de la secuencia de $\{m_k\}\subset\mathbb N$, y una secuencia $\{x_{m_k}\}\subset X$, de tal manera que $d_Y(f_{m_k}(x_{m_k}),f(x_{m_k}))>\epsilon_0$ todos los $k$. Desde $X$ es compacto, existe una larga $\{n_k\}$ $\{m_k\}$ tal que $x_{n_k}\to x$ algunos $x\in X$, entonces podemos demostrar que $f_{n_k}(x_{n_k})\to f(x)$ mediante la construcción de una secuencia con duplicados $x_{n_k}$'s, como este. Por otro lado, desde la $f$ es continua, tenemos $f(x_{n_k})\to f(x)$ contradiciendo a $d_Y(f_n(x),f(x))>\epsilon_0$.
En contrario a la instrucción anterior, si $X$ no está conectado (o, al menos, con finito de componentes conectados), incluso si $X$ es completa, $f_n\to f$ no tiene por qué ser uniforme, como $X=\mathbb Z$.
La generalización de
No sé si $X$ podría ser reemplazado con un arbitrario conectado espacio métrico, o incluso $X$, $Y$ son sólo espacios de Hausdorff. No sé si el anterior espacio métrico compacto $X$ podría ser sustituido por un compacto Hausdorff espacio. Está fuera de mi capacidad y no puedo hablar de más.
