¿Cómo determinar si las siguientes series convergen o no?

Question

$\Sigma_{n=1}^{\infty} a_n $ dónde:

1. $ a_n = \frac{1}{\ln(n)^{\ln(n)}}$

2. $a_n = \frac{1}{n }-\ln\left( 1+\frac{1}{n}\right)$

En el primer caso, realmente no tengo ni idea

En el segundo caso, ¿es correcto decir que para$ \frac{1}{n }-\ln\left( 1+\frac{1}{n}\right)$ es (por expansión de taylor)$\frac{1}{2n^2}+O(\frac{1}{n^3})$ y por lo tanto, por la prueba de comparación de límites converge? ¿Hay alguna otra manera?

Gracias por adelantado

Answer 1

Para la primera serie,$$ \ln(n)^{\ln(n)}=e^{\ln(n)\ln(\ln(n))}=n^{\ln(\ln(n))}$ $

Que crece más rápido que$n^p$ para cualquier$p$. Por lo tanto la serie converge.

Su argumento para la segunda serie me parece bien.

Answer 2

No hay otro camino a seguir para el segundo problema. De hecho, vamos a continuar utilizando sólo primaria de las desigualdades.

En ESTA RESPUESTA, me mostró el uso de sólo el límite de la definición de la función exponencial y la Desigualdad de Bernoulli que el logaritmo de la función satisface las desigualdades

$$\frac{x-1}{x}\le\log(x)\le x-1 \tag 1$$

Dejando $x=1+1/n$ $(1)$ obtenemos

$$0\le \frac1n - \log\left(1+\frac1n\right)\le \frac{1}{n(n+1)}<\frac1{n^2}$$

Desde $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$, luego por la prueba de comparación, la serie de interés converge.

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Para el primer problema, podemos utilizar la integral de la prueba. Deje $f(n)=\frac{1}{\log(n)^{\log(n)}}$. A continuación,

$$\begin{align} \int_1^\infty \frac{1}{\log(x)^{\log(x)}}\,dx&=\int_0^\infty \left(\frac{e}{x}\right)^x\,dx \tag 2 \end{align}$$

Desde $\left(\frac{e}{x}\right)^x\le \left(\frac{e}{x}\right)^2$$x\ge 2$, la integral en $(2)$ converge y, por lo tanto, por la integral de la prueba, la serie de interés en el primer problema que se hace de la misma manera.

Answer 3

Para 2.

$ \begin{array}\\ a_n &= \frac{1}{n }-\ln\left( 1+\frac{1}{n}\right)\\ &= \frac{1}{n }-\int_1^{1+1/n} \frac{dx}{x}\\ &= \frac{1}{n }-\int_0^{1/n} \frac{dx}{1+x}\\ &= \int_0^{1/n} (1-\frac{1}{1+x})dx\\ &= \int_0^{1/n} (\frac{x}{1+x})dx\\ &< \int_0^{1/n} x\,dx\\ &= \frac{x^2}{2}|_0^{1/n}\\ &= \frac{1}{2n^2}\\ \end {array} $

Para un límite inferior, desde la integral,$a_n > 0$.

Ser más preciso,

$ \begin{array}\\ a_n &= \int_0^{1/n} (\frac{x}{1+x})dx\\ &\gt \frac1{1+1/n}\int_0^{1/n} x\,dx\\ &= \frac1{1+1/n}\frac{x^2}{2}|_0^{1/n}\\ &= \frac1{1+1/n}\frac{1}{2n^2}\\ &= \frac{1}{2n(n+1)}\\ \end {array} $