Extensión trascendental de campo.

Question

Sea$F(a)$ una extensión trascendental del campo$F$. Dado un elemento$b \in F(a)$ tal que$b \notin F$, me gustaría mostrar que$F(a)$ es una extensión algebraica de$F(b)$.

Mi idea de la prueba es que si$b = \dfrac{f(a)}{g(a)}$, donde$f(x), g(x) \in F[x]$. Entonces$a $ es una raíz de

ps

Que es miembro de$$ bg(x) - f(x)$.

¿Es esto correcto?

Answer 1

Sí, esto es correcto, bajo el supuesto de $b\notin F$, como esta suposición se asegura de que su polinomio en realidad, no es el polinomio cero.

Si $f$ $g$ son primos relativos ($a$ puede ser considerado como una variable, porque es trascendental, más de $F$) y $f,g\neq 0$, al menos, uno de los cuales tiene grado positivo, entonces el grado de $F(a)$$F(b)$$\max\{\deg(f),\deg(g)\}$. Este es el grado del polinomio que has escrito, y lo que se puede comprobar irreductible $F(b)$, por lo que es una constante en varios de el polinomio mínimo de a$a$$F(b)$.

Answer 2

Necesitas $bg(x) - f(x) \neq 0$. Esto se garantiza si$g(x) \neq 0$ y$b \notin F$.