Demostrar que el determinante es un múltiplo de $17$ sin desarrollarlo

Question

Sea, la matriz está dada como : $$D=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 9 \\ 1 & 8 & 7 \\ 1 & 5 & 3\end{bmatrix}$$

Demostrar que el determinante es un múltiplo de $17$ sin desarrollarlo?

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Vi una resolución por el método de Jacobi , pero no pude aplicar la metodología en este ejemplo.

Answer 1

Observa que 119, 187 y 153 son todos divisibles por 17. Así que multiplicando la columna 2 por 10 y añadiendo a la columna 3 y multiplicando la columna 1 por 100 y añadiendo a la columna 3, nos da una columna en la que cada elemento es divisible por 17:

$D=\left|\begin{matrix} 1 & 1 & 9 \\ 1 & 8 & 7 \\ 1 & 5 & 3\end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix} 1 & 1 & 19 \\ 1 & 8 & 87 \\ 1 & 5 & 53\end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix} 1 & 1 & 119 \\ 1 & 8 & 187 \\ 1 & 5 & 153\end{matrix}\right| =17\left|\begin{matrix} 1 & 1 & 7 \\ 1 & 8 & 11 \\ 1 & 5 & 9\end{matrix}\right|$

Así, $D = 17\cdot E$ donde $E$ es el determinante de una matriz cuyos elementos son números enteros que multiplicados utilizando la definición de determinante serán un número entero.

Answer 2

$$ |D| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 9 \\ 1 & 8 & 7 \\ 1 & 5 & 3\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 9 \\ 0 & 7 & -2 \\ 0 & 4 & -6\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 9 \\ 0 & 7 & -2 \\ 0 & 0 & -\dfrac{34}{7}\end{vmatrix} = 1 \times 7 \times -\dfrac{34}{7} = -34 =-2 \times 17 $$

Answer 3

Empezando como H.R. pero luego usando el hecho de que sólo te interesa el resultado mod $17$ se puede prescindir de los racionales escribiendo

$$ |D| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 9 \\ 1 & 8 & 7 \\ 1 & 5 & 3\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 9 \\ 0 & 7 & -2 \\ 0 & 4 & -6\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 9 \\ 0 & 2 & -3 \\ 0 & 4 & -6 \end{vmatrix} = 0\bmod17\;, $$

donde añadí $3$ veces la última fila a la fila del medio.

Answer 4

Jacobi dice

$$D=\left|\begin{matrix} 1 & 1 & 9 \\ 1 & 8 & 7 \\ 1 & 5 & 3\end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix} 1 & 1 & 9 \\ 0 & 7 & -2 \\ 0 & 4 & -6\end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix} 1 & 0 & \frac{65}7 \\ 0 & 7 & -2 \\ 0 & 0 & -\frac{34}7\end{matrix}\right| =\left|\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{34}7\end{matrix}\right| $$

pero esto requiere más operaciones que Gauss.

Answer 5

Nota: Añadir un múltiplo de una fila a otra (y esas fueron las únicas "operaciones de fila" utilizadas aquí) no cambia el determinante de una matriz (y esas fueron las únicas "operaciones de fila" utilizadas aquí) pero "intercambiar dos filas" multiplica el determinante por -1 y "multiplicar una fila por un número" multiplica el determinante por ese número.