Solución formal de aa forma de la ecuación diferencial matricial

Question

Considere la posibilidad de una ecuación diferencial, $$ \frac{\mathrm{d} C}{\mathrm{d} t} = C + C^{\mathrm{T}}, $$ donde $C$ es el simétrico de a $n \times n$ matriz y $A$ $n \times n$ matriz. Encontrar $C(t)$.

Hay una solución oficial para la ecuación anterior? En principio, esto es ecuación lineal si tratamos la matriz $C$ $A$ $n^2$ vector. Sin embargo, no parece ser una manera práctica de resolver el problema.

Este tipo de ecuaciones diferenciales para las matrices es bastante nuevo para mí. Además de la solución oficial hágamelo saber algunos libros teniendo en cuenta tema similar. Gracias.

Answer 1

Puede resolver la ecuación diferencial de la siguiente manera: write$$\frac{dC}{dt} = AC+CA^T = \left(A\otimes1+1\otimes A^T\right)C$ $ Esto nos da la solución$$C(t)=\exp\left(t\left(A\otimes1+1\otimes A^T\right)\right)C(0)$ $ Tenga en cuenta que esto es básicamente solucionar mirando$A$ como un$n^2$ - vector , Como usted dijo en la pregunta. Lo bueno de esta formulación es que observa inmediatamente que$A\otimes1$ y$1\otimes A^T$ conmutan, y por lo tanto tenemos$$\exp\left(t\left(A\otimes1+1\otimes A^T\right)\right) = \exp\left(t\left(A\otimes1\right)\right)\exp\left(t\left(1\otimes A^T\right)\right)=$ $$$=\left(\exp(tA)\otimes1\right)\left(1\otimes \exp\left(tA^T\right)\right)$ $ So$$C(t) = \exp(tA)C(0)\exp\left(tA\right)^T$ $ que Usted puede comprobar fácilmente para ser correcta.