¿Cómo se puede demostrar que $n^n$$O(n!^2)$?

Question

Parece obvio que: $$n^n \in O(n!^2)$$ Pero me parece que no puede encontrar una buena manera de demostrarlo.

Answer 1

El uso de un multiplicativo variante de Gauss del truco: $$ (n!)^2 = (1 \cdot n) (2 \cdot (n-1)) (3 \cdot (n-2)) \cdots ((n-2) \cdot 3) ((n-1) \cdot 2) (n \cdot 1) \ge n^n $$

Answer 2

Esto también se deduce directamente de la simple desigualdad $$ e\bigg(\frac{n}{e}\bigg)^n \le n!, $$ que se puede encontrar aquí (Wikipedia).

Elaboración: a partir De esta desigualdad se sigue en particular que $$ n!n! \ge \frac{{n^n^n }}{{e^n e^n }} = \bigg(\frac{n}{{e^2 }}\bigg)^n n^n , $$ por lo tanto $$ n^n \le \bigg(\frac{{e^2 }}{n}\bigg)^n n!n!, $$ muestra, además, que $n^n \in o(n!^2)$.

EDIT: Aquí (Matemáticas Central, Problema de el Mes 100, diciembre de 2010), se puede encontrar cinco pruebas diferentes de la desigualdad de $(n!)^2 > n^n $, para todos los $n \geq 3$ o $n \geq 8$.

EDIT: en Realidad, por encima de prueba es suficiente para utilizar la desigualdad de $n! > (\frac{n}{e})^n$ (cf. los comentarios de abajo), que es trivial señalar que $$ e^n = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{n^k }}{{k!}}} > \frac{{n^n }}{{n!}}. $$

Answer 3

Grupo de factores de $k$$n-k$. Cuando es su producto más grande que $n$?