Simplifique la suma exponencial sobre$\mathbb{F}_p$ para probar la identidad

Question

Tengo una suma que implican $p$-th raíces de la unidad (donde $\frac{1}{t}$ es entendido como el campo inverso $t^{-1} \bmod p$ etc.) de la forma

$\begin{align*} &d_{j,k}=\sum_{a,b,c \in \mathbb{F}_p}\omega^{\frac{1}{12}(a^3-c^3)+(\frac{b}{2}+\frac{1}{8})(a^2-c^2)+(\frac{b}{2}+b^2)(a-c)+kc-ja}\end{align*}$

donde $\omega=\exp(2 \pi i/p)$ es una primitiva $p$-ésima raíz de la unidad y de la $p$ es un primo mayor que 3.

Con la ayuda de un ordenador, puedo confirmar que la expresión anterior obedece

$\begin{align*}d_{j,k\neq j}=p^2 \sum_{r \in \mathbb{F}_p}\omega^r=0 \end{align*}$

He comprobado esto por $5\leq p \leq 17$ y estoy seguro que esto tiene para todos los prime $p>3$.

Pregunta: ¿Cómo puedo manipular la expresión de $d_{j,k}$ en el fin de ver que todos los $d_{j,k\neq j}$ ( $j,k \in \mathbb{F}_p$ ) evaluar a cero?

Answer 1

El carácter de suma, implica que el polinomio $$ f(a,b,c)=\frac{1}{12}(a^3-c^3)+(\frac{b}{2}+\frac{1}{8})(a^2-c^2)+(\frac{b}{2}+b^2)(a-c)+kc-ja. $$ Mirando a este por un tiempo me sugirió mirar $$ f(a+C,B-A/2-1/4,A-C)=\frac{C^3}6+C\left(-\frac18+2B^2-j-k\right)+(- j+k) $$ en lugar de ello (no es de Mathematica Simplify maravilloso!).

En el interés de evitar esos pequeños doble supercripts permítanme definir $e(x)=\omega^x$ todos los $x\in\Bbb{F}_p$.

El lineal de sustitución de $(A,B,C)\mapsto (A+C,B-A/2-1/4,A-C)$ es bijective porque $p>2$. Por lo tanto, podríamos también utilizar $(A,B,C)$ como suma de variables y dejar que ellos gama en todo el campo. Tenemos $$ \begin{aligned} d_{j,k}&=\sum_{A,B,C\in\Bbb{F}_p}e\left(\frac{C^3}6+C\left(-\frac18+2B^2-j-k\right)+A(-j+k)\right)\\ &=\sum_{B,C\in\Bbb{F}_p}e\left(\frac{C^3}6+C\left(-\frac18+2B^2-j-k\right)\right) \sum_{A\in\Bbb{F}_p}e(A[k-j]). \end{aligned} $$ Aquí he utilizado el hecho de que $e(x+y)=e(x)e(y)$, lo que nos permitió tomar ese $A$-suma como factor común.

De todos modos, si $k\neq j$, $A$- suma es trivialmente cero. Por lo tanto $d_{j,k}=0$ si $k=j$. La clave del éxito fue la capacidad de separar ese simple $A$-suma.