Mostrar$\sin(x+h) \cdot \cos x - \cos(x+h) \cdot \sin x = \sin h$ (sin límites por favor - trigonometría recta solamente).

Question

He intentado un enfoque algebraico utilizando la identidad

$\sin(x) = \sin(x+h-h) = \sin(x+h)\cos(h) - \cos(x+h)\sin(h)$, llevando a un complicado expresión estoy teniendo problemas para simplificar:

$[\sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h)]\cos(x) - [\cos(x)\cos(h) - \sin(x)\sin(h)][\sin(x+h)\cos(h)-\cos(x+h)\sin(h)]$

(continuación de la expansión de $\sin(x+h)$ $\cos(x+h)$ en esta expresión no me ayuda).

El uso de esta identidad fue una sugerencia en el libro me encontré con esto, ¿Qué es la Matemática, por Courant y Robbins, p. 422.

Nota: Desde la publicación de me di cuenta de cómo mostrar simbólicamente en la actualización del siguiente diagrama, el cual ha sido actualizado desde su publicación (incluyendo también la correcta algebraicas respuesta dada por @Andre Nicolás).

Answer 1

Recordar que $\sin(a-b)=\sin a\cos b -\cos a\sin b$. Permitir$a=x+h$ y$b=x$.

Observación: Usaste exactamente el mismo enfoque, excepto que en lugar de usar$\sin(x+h-x)$, como arriba, usaste$\sin(x+h-h)$.