¿Qué $\lim\limits_{(x,y)\rightarrow0}$ media y cómo mostrar $ \lim\limits_{(x,y)\rightarrow0}\frac{x^3}{x^2+y^2}=0$?

Question

Considerar $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ donde

$$ f (x, y): =\begin{cases} \frac{x^3}{x^2+y^2} & \textit{ if } (x,y)\neq (0,0) \\ 0 & \textit{ if } (x,y)= (0,0) \end{casos} $$

Si uno quiere mostrar la continuidad de $f$, principalmente quiero

$$ \lim\limits_{(x,y)\rightarrow0}\frac{x^3}{x^2+y^2}=0$$

Pero ¿qué significa $\lim\limits_{(x,y)\rightarrow0}$? ¿Es igual a $\lim\limits_{(x,y)\rightarrow0}=\lim\limits_{||(x,y)||\rightarrow0}$ o significa $\lim\limits_{x\rightarrow0}\lim\limits_{y\rightarrow0}$?

Si es así, ¿cómo una demostración de que la función anterior tiende a cero?

Answer 1

Tenga en cuenta que tenemos

$$\left|\frac{x^3}{x^2+y^2}\right|\le |x|$$

El límite de $(x,y)\to(0,0)$ por lo tanto $0$.

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El límite de $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=L$ significa que para todos los $\epsilon>0$, existe un borrado vecindario $N_{0,0}$ (por ejemplo, existe un $\delta>0$, de tal manera que $0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta$), de tal manera que cada vez que $(x,y)\in N_{0,0}$, $|f(x,y)-L|<\epsilon$.

Tenga en cuenta que la iteración de los límites de $\lim_{x\to0}\lim_{y\to0}f(x,y$ $\lim_{y\to0}\lim_{x\to0}f(x,y$ no son necesariamente iguales el uno al otro o igual que el límite de $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$.

En ESTA RESPUESTA, yo hice referencia a la Moore-Osgood Teorema, que da condiciones suficientes cuando el límite y la iterada límites son iguales.

Answer 2

$\lim_\limits{(x,y)\to 0}$ probable que significa $\lim_\limits{(x,y)\to(0,0)}$, que significa que el $x$ y $y$ están tendiendo a $0$. Se pueden usar coordenadas polares donde $x=r\cos(\theta)$ y $y=r\sin(\theta)$ para obtener: $$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3}{x^2+y^2}=\lim_{r\to 0}\frac{r^3\cos^3(\theta)}{r^2}=\lim_{r\to 0} r\cos^3(\theta)$ $ entonces tenga en cuenta que $|\cos^3(\theta)|\leq 1~~~\forall\theta\in\Bbb R$.

Answer 3

La definición formal es la siguiente: dada una función de $n$ variables reales (aquí $n=2$): $f(x_1,\ldots, x_n),$ decimos que $$\lim_{(x_1,\ldots, x_n)\to (p_1,\ldots, p_n)}f(x_1,\ldots,x_n)=L$ $ si cada $\epsilon>0$, existe un $\delta$ suficientemente pequeño que $$ \lvert (x_1,\ldots, x_n)-(p_1,\ldots, p_n)\rvert<\delta$ $ implica que $$ \lvert f(x_1,\ldots, x_n)-L\rvert<\epsilon.$ $ en su caso, esto reduce a demostrar que para cada $\epsilon>0$, existe un $\delta$ suficientemente pequeño que $$ \lvert (x,y)\rvert<\delta$ $ implica que % $ $$ \lvert f(x,y)\rvert<\epsilon.$una vez que hayas digerido esta definición, vale la pena observar que como $(x,y)\to 0$, tenemos que $$ \bigg|\frac{x^3}{x^2+y^2}\bigg|\le \lvert x\rvert\to 0.$ $

Answer 4

$$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)=L$ $ significa que para todos los $\epsilon>0$ allí existe un $\delta>0$ tal que % $ $$0<\sqrt {x^2+y^2}<\delta \implies |f(x,y)-L|< \epsilon$

En tu caso que $\delta=\epsilon$.

$$\left|\frac{x^3}{x^2+y^2}\right|=|x|\cdot \left|\frac{x^2}{x^2+y^2}\right| \leq |x|\cdot1=|x|\leq \sqrt{x^2+y^2}<\delta$$

Ahora podemos ver que tiene la implicación anterior.

Answer 5

TLDR: intuitivamente puede pensar de él como $\lim_{||(x,y||\to 0}$.

Esto se vuelve más clara y formal cambio a coordenadas polares; Si escribes $$f(x,y)=f(r\cos \theta, r\sin \theta)$ $ decimos %#% $ #% si para cada $$\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)}f(x,y)=L$ tenemos $\theta \in [0,2\pi)$ $

La intuición detrás de esta definición es que queremos % $ $$\lim_{r\to 0} f(r\cos \theta+x_0, r\sin \theta+y_0)=L$es verdadero si acerca a $$f(x,y)\stackrel{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\longrightarrow} L$ $f$ a $L$, independientemente de la dirección de que esto está sucediendo.