Estoy tratando de comprender Milnor de la prueba de la existencia de exóticos 7-esferas.
Milnor encuentra con sus ejemplos, de los $S^{3}$ paquetes de más de $S^{4}$ (con estructura de grupo $SO(4)$ ). Un paquete puede ser descrito de la siguiente manera:
Dado $M$, $S^{3}$ paquete de más de $S^{4}$, si nos restringimos $M$ a la del norte (o sur) hemisferio de $S^{4}$, se debe trivializar ya que cada hemisferio es contráctiles. Por lo tanto, podemos construir $M$ especificando, para cada punto de $p$ $S^{3}$ = ecuador de $S^{4}$ = intersección de los hemisferios norte y sur, un elemento de $SO(4)$ pegamentos $p\times S^{3}$ en el hemisferio norte a $p\times S^{3}$ en el hemisferio sur.
De esta forma se define una función de $f:S^{3}\rightarrow SO(4)$, lo que se conoce como el embrague de la función de $M$. Por costumbre, el haz de fibras teoría, el isomorfismo tipo de $M$ sólo depende de la homotopy clase de $f$.
$SO(4)$ es el doble cubierto por $S^3\times S^3$, y, por tanto,$\pi_3(SO(4)) = \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$. Por lo tanto, $f$ es realmente determinado (al menos, hasta homotopy) por un par ordenado de números enteros (i,j).
Ahora, como los paquetes tienen estructura de grupo $SO(4)$, tiene sentido hablar de la Pontryagin clases de $M$. En Milnor de la prueba de la existencia de esferas exóticas, él necesita para argumentar que $p_1(M) = \pm 2(i-j)$. Su primer paso en este argumento es que "claramente $p_1(M)$ es una función lineal de $i$$j$."
ES claro para mí que el Pontragin clases asociadas a $(ni, nj)$ $n\in \mathbb{Z}$ dependen linealmente de $n$. Para que, si dejamos $N_{i,j}$ denotar el principal $SO(4)$ paquete de más de $S^{4}$ correspondiente a$(i,j)$, $N_{ni,nj}$ es claramente obtiene como la retirada de $N_{i,j}$ a través de un grado $n$ mapa de $S^{4}$ a sí mismo.
Sin embargo, no es claro para mí por qué el $p_1(M)$ es aditivo en la $(i,j)$. Me estoy perdiendo algo simple?
Y mientras estamos hablando, es más verdadero? Esto es, Para cualquier esfera de paquete a través de una esfera, digamos, $S^{k}\rightarrow E\rightarrow S^{n}$, si alguna característica de las clases de Pontryagin, Stiefel-Whitney, Euler) ser lineal en términos de la agarrando la función?
Por ejemplo, podemos pensar en $p_1$ como un mapa de $\pi_{n-1}(SO(k+1))\rightarrow H^{4}(S^{n})$. Es este mapa un homomorphism? ¿Y para la otra característica de las clases?
