Si un conmutador tiene un valor propio $0$, ¿los dos operadores comparten un vector propio?

Question

Sea $A,B$ dos operadores lineales diagonalizable, tal que su conmutador $\left[A,B\right] = AB-BA$ tiene un valor propio $\lambda = 0$. ¿Hace este % media $A$y $B$ compartan un vector propio?

Por supuesto, el vice-versa es correcto. Si comparten un vector propio, el conmutador tiene necesariamente un valor propio de $0$. No estoy seguro pero si se trata de una condición suficiente, o sólo uno es necesario.

Answer 1

Claramente podemos escoger una base para que uno de los operadores ya es diagonal. Aquí es un contraejemplo pequeño de este tipo: $$ A = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \mu \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. $ $ son de los valores propios de $B$ $\pm \sqrt{2}$ y $0$ y los vectores propios son de la forma $(1,a,\pm 1)$, ninguno de los cuales viven en uno de los subespacios propios de $A$. Pero $AB-BA$ primera fila y primera columna todos cero, así $(1,0,0)$ es un vector propio con valor propio cero.

Answer 2

Tome $A,B$ $4 \times 4$ matrices tales que la primera columna de $A$$e_2$, en la última columna de $A$$e_3$, la segunda columna de $B$$e_3$, y la primera columna de $B$$e_4$. Entonces

$$(AB-BA)e_1=ABe_1-BAe_1=Ae_4-Be_2=e_3-e_3=0.$$

(El punto de las elecciones fue la creación de dos "caminos paralelos" de$1$$3$, es decir,$1 \to 4 \to 3$$1 \to 2 \to 3$.)

Aviso a pesar de que las elecciones que hacemos aquí no crear un subespacio invariante aún: $A$ envía el lapso de $\{ e_1,e_4 \}$ en el período de $\{ e_2,e_3 \}$ $B$ envía el lapso de $\{ e_1,e_2 \}$ en el período de $\{ e_3,e_4 \}$. Así que estas opciones no de forma exclusiva especificar cualquier vectores propios de la matriz. Por lo tanto, teniendo los otros dos no especificado columnas de $A$ y los de $B$ al azar se suelen dar todos los diferentes vectores propios.

Answer 3

Aquí es otro contraejemplo. Deje $n>2$ y

• $A=\operatorname{diag}(n,\,n-1,\,\ldots,\,1)$,
• $T$ ser el sesgo de simetría Toeplitz matriz cuya primera fila es $(0,\,1,\,\frac12,\,\ldots,\,\frac1{n-1})$,
• $C$ ser cualquier singulares de la matriz con un cero en la diagonal, y también un valor distinto de cero fuera de la diagonal de la entrada en su cada columna; por ejemplo, cuando se $n$ es impar, uno puede tomar cualquier sesgo de simetría de la matriz con un valor distinto de cero entradas fuera de la diagonal; al $n$ es, incluso, uno puede tomar $C=\pmatrix{J-I&J-I\\ J-I&J-I}$ donde $J$ es una matriz de tamaño $n/2$.
• $B=T\circ C$, el producto de Hadamard $T$$C$.

A continuación, $AB-BA=C$ es singular, sino por la construcción, cada columna de $B$ posee un valor distinto de cero fuera de la diagonal de la entrada. Por lo tanto $A$ $B$ no comparten ningún vector propio.