¿Interesantes pruebas sobre espacios métricos?

Question

Actualmente estoy trabajando en el libro Introducción a la Topología por Bert Mendelson, y he terminado todos los ejercicios que figuran al final de la sección que acabo de terminar, pero me gustaría un poco más para probar. Acabo de terminar de aprender acerca de la métrica de los espacios, la continuidad y el abierto de bolas acerca de los puntos en espacios métricos. Sólo para un poco de contexto, algunas de las pruebas que he hecho son:

• Si $(X,d)$ es un espacio métrico y $a\in X$, para cada una de las $\delta \gt 0$, el open de bola de $B(a; \delta)$ es un barrio de cada uno de sus puntos.
• Vamos $f:(X,d)\to (Y,d')$, $a\in X$, y deje $\beta_{f(a)}$ ser una base para el barrio del sistema en $f(a)$. Demostrar que $f$ es continua en a $a$ fib $f^{-1}(N)$ es un barrio de $a$ por cada $N \in \beta_{f(a)}$.
• Si $a$ $b$ son distintos puntos de un espacio métrico $X$, demostrar que no existen los vecindarios $N_a$$N_b$$a$$b$, respectivamente, tal que $N_a \cap N_b=\varnothing$.
• Si $(X,d)$ es un espacio métrico que contengan $a$$b$, e $\delta+\eta \lt d(a,b)$,$B(a;\delta)\cap B(b;\eta)=\varnothing$.

¿Alguien puede darme alguna otra (quizás un poco más difícil) pruebas a hacer acerca de estos temas? Me gustaría practicar un poco más con ellos, pero no soy muy bueno acerca de la formación de verdad de las conjeturas para probar.

Gracias!

Answer 1

$1)$Probar o refutar con un counterxample: Es una contables intersección de abrir conjuntos de siempre abierto?

$2)$Demostrar que la intersección de un número finito de abiertos es abierta.

$3)$Dejar el espacio $C[0,1]=\{f[0,1] \rightarrow \mathbb{R}|f$ continua en $[0,1]\}$$d(f,g)= \int_0^1|f(x)-g(x)|dx$. Demostrar que $d$ es una métrica.

$4)$Sean (X,d) un espacio métrico.Demostrar que la colección de conjuntos de $T=\{A \subseteq X| \forall x \in A,\exists \epsilon>0$tal que $B(x, \epsilon) \subseteq A\}$ es una topología en $X$.Usted sólo tiene que buscar la definición de una topolgy para resolver esto.

$5)$ Demostrar que el conjunto de los números racionales no es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}$ bajo la métrica $d(x,y)=|x-y|$(métrico)

$6)$Demostrar que el conjunto $A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2|x+y>1\}$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^2$ bajo la métrica $d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

$7)$Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico y $A \subset X$.Definimos $(x_0,A)=\inf\{d(x_0,y)|y \in A \}$. Esta cantidad se llama la distancia entre el$x_0$$A$.Demostrar que la función de $f:X \rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f(x)=d(x,A)$ es lipschitz continua.

$8)$Un conjunto $A$ en una métrica (y topológicas en general)el espacio es cerrado si $X$ \ $A$ está abierto. Demostrar que el conjunto $\mathbb{Z}$ es cerrada por subconjuntos de la recta real en virtud de la costumbre métrica.También demostrar que el conjunto de los números racionales en no cerrado bajo la misma métrica.

$9)$Un subconjunto $Y$ de espacio métrico X es conectado si NO existen dos conjuntos de $A,B \subseteq X$ tal que $Y=A \cup B$$A \cap B= \emptyset$. Demostrar que el conjunto $(0,1)$ está conectado a un subconjunto de a $ \mathbb{R}$ menor a la habitual métrica.También demostrar que $\mathbb{Q}$ no está conectado en $\mathbb{R}$ menor a la habitual métrica.

$10)$En primer lugar demostrar que un intervalo de $(a,b),(a, + \infty),(- \infty,a)$($0<a<b$) están abiertas pone en $\mathbb{R}$ menor a la habitual métrica ($d(x,y)=|x-y|$)

En segundo lugar, demostrar que el conjunto $[a,b]$ es cerrado en $\mathbb{R}$(use la definición de un ejercicio anterior y la primera parte del ejercicio)

Por último, demostrar que $\bigcup_{n=1}^\infty [1+\frac{1}{n},2-\frac{1}{n}]=(1,2)$

Este es un ejemplo en el que un infinito de la unión de conjuntos cerrados en un espacio métrico no necesita ser un conjunto cerrado.

$11)$Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico .Podemos definir el diámetro de un conjunto $A$$diam(A)=\sup \{d(x,y)|x,y \in A\}$.Supongamos que $B$ es un subconjunto acotado de X e $C \subseteq B$.Demostrar que $diam(C) \leqslant diam(B)$

$12)$Deje $X$ ser el espacio de funciones continuas en $[0, 1]$($C[0,1]$) con la métrica $d(f,g)= \sup_{x \in [0,1]}|f(x)-g(x)|$.Mostrar que $d$ es de hecho una métrica. También muestran que el subconjunto $A = \{f ∈ X | f(x) > 1,$ $x \in [1/3, 2/3]\}$ está abierto en $X$.

$13)$Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico.Definir $A+B=\{x+y|x \in A ,y \in B \}$ $x+A=\{x+y| y \in A\}$ donde $A,B \subseteq X$.Probar que si $A,B$ están abiertos establece a continuación, $A+B,x+A$ también están abiertas conjuntos.

$14)$Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico.Una secuencia $x_n \in X$ converge a $x$ si $\forall \epsilon >0 ,\exists n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $d(x_n,x)< \epsilon, \forall n \geqslant n_0$.Considerar el espacio $(\mathbb{R}^m,d)$ con el euclideian métrica.Demostrar que $x_n \rightarrow x=(x_1,x_2...x_m)$ $\mathbb{R}^m$ si y sólo si $x_n^j \rightarrow x_j \in \mathbb{R}, \forall j \in \{1,2...m\}$(Una secuencia en $\mathbb{R}^m$ tiene la forma $x_n=(x_n^1,x_n^2...x_n^m))$

$15)$Deja una función de $f:(X,d_1) \rightarrow (Y,d_2)$.Demostrar que $f$ es continua en a $X$ si y sólo si para cada secuencia $x_n \rightarrow x$ $X$ tenemos $f(x_n) \rightarrow f(x)$$Y$.

Espero que esto ayude un poco.

Answer 2

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico.

• Si $f:(X,d)\to (X,d)$ es continua y $f\circ f=f$ $f(X)$ es cerrado.
• Cada secuencia en $(X,d)$ converge a un punto en $X$.
• Para cada una de las $n\in\mathbb{N}$, existe una métrica $\rho$ $X$ tal que para cada una de las $x,y\in X, \rho(x,y)\leq n$ y la de la familia de abrir bolas en $(X,d)$ coincide con el de la familia de abrir bolas en $(X,\rho)$.
• Si $X=\mathbb{R}$ $d$ es lo habitual en la métrica, a continuación, cada intervalo cerrado (o de hecho cualquier conjunto cerrado) es la intersección de una familia de abiertos de conjuntos, es decir, un $G_\delta$.
• Cada punto de $X$ tiene una contables barrio de base, es decir, para cada una de las $x\in X,$ existe una contables de la familia $\eta(x)$ de abrir conjuntos tales que para cualquier vecindario $U$ $x$ existe $V\in \eta(x)$ tal que $x\in U\subseteq V$.
• Si $(X,d)$ es segundo contable, es decir, si existe una contables de la familia $\mathcal{B}$ de bloques abiertos en $(X,d)$ tal que para cada conjunto abierto $U$$X$, existe un conjunto abierto $V\in \mathcal{B}$ tal que $V\subseteq U$, $(X,d)$ es la primera contable, pero el recíproco no es necesariamente cierto.
• Si $E,F$ son dos distintos subconjuntos cerrados de $X$, a continuación, existen distintos $U,V$ abierto pone en $(X,d)$ tal que $E\subseteq U,\ F\subseteq V$$U\cap V=\emptyset$.
• Si $a\in X$ $F$ es un subconjunto cerrado de $X$ $x\notin F$ existe $U, V$ abierto subconjuntos de a $X$ tal que $x\in U,\ F\subseteq V$$U\cap V=\emptyset$.
• Si $X=\mathbb{R}$ $d$ es lo habitual en la métrica, a continuación, cada subconjunto abierto de $X$ es en la mayoría de un contable de la unión de distintos intervalos abiertos.

Answer 3

La "métrica discreta" en un espacio $X$ es una en la que $d(x, y) = 1$ si #% de %#% y $x \ne y$.

(a) demostrar que para cualquier conjunto de $d(x, x) = 0$, la métrica discreta en $X$ es, de hecho, una métrica.

(b) muestran que cada función de $X$ con su métrica discreta a cualquier espacio métrico $X$ en realidad es continuo.

(c) mostrar que una función continua de cualquier espacio métrico $Y$ % espacio $Y$(con su métrica discreta) debe ser constante.

Answer 4

(1.1). Mostrar que si $F$ es una familia de subconjuntos de un espacio métrico tal que $\cup G$ es cerrada cuando $G$ es una contables subconjunto de $F$, $\cup F$ es cerrado.

(2). Diferentes métricas que generan la misma topología se denomina equivalente métricas:

(2.1). Mostrar que si $d,e$ son equivalentes métricas en $X$ fib para cada $r>0$ y cada una de las $x\in X$ existe $r'>0$ $r''>0$ tal que $B_d(x,r')\subset B_e(x,r)$ $B_e(x,r'')\subset B_d(x,r).$

(2.2). Deje $d,e$ ser métricas en $X$ tal que existen positivo $k,k'$ tal que $d(u,v)\leq k\cdot e(u,v)$ $e(u,v)\leq k'\cdot d(u,v)$ todos los $u,v \in X.$ Muestran que $d,e$ son equivalentes. (Si $k,k'$ existe $d,e$ son llamados de manera uniforme equivalente). Y dar un ejemplo de dos equivalentes de métricas que no están uniformemente equivalente.

(2.2). Para una métrica $d,$ muestran que $e_1=d/(1+d)$ $e_2=\min (1,d)$ son métricas y son equivalentes a $d.$

(2.3). Deje $(X,d)$ $(Y,e)$ ser métrica espacios y deje $f:X\to Y$ ser continua. Mostrar que $$f(u,v)=d(u,v)+e(f(u),f(v)) \quad \text {for } u,v\in X$$ is a metric on $X$ equivalent to $d.$ (In particular, with $Y=\mathbb R$ and $e(y,y')=|y-y'|,$ esto es útil en las construcciones de otros problemas y ejemplos).

(3). Secuencias y cierres:

(3.1). En un espacio métrico $(X,d)$ $x\in X,$ muestran que una secuencia $(x_n)_{n\in \mathbb N}$ de los miembros de $X$ satisface $\lim_{n\to \infty}d(x,x_n)=0$ fib $\{n\in \mathbb N: d(x_n,x)\geq r\}$ es finito para cada $r>0.$

(3.2). Mostrar que si $\lim_{n\to \infty} d(x,x_n)=0=\lim_{n\to \infty}d(x,x'_n)$ $\lim_{n\to \infty}d(x_n,x'_n)=0.$

(3.3). Por espacio métrico $(X,d)$ $Y\subset X ,$ definir $\overline Y$ a ser el conjunto de todos ,y sólo aquellos, $x\in X$ tal que $\lim_{n\to \infty}d(x,y_n)=0$ para algunos secuencia $(y_n)_{n\in \mathbb N}$ de los miembros de $Y.$ Demostrar que $$\overline {(\overline Y)}=\overline Y.$$

Answer 5

• Cada secuencia convergente es limitado.
• El cierre de una bola abierta $B(a;\delta)$ es un subconjunto de la bola cerrada centrada en $a$ % radio $\delta$.
• La Unión de una secuencia de subconjuntos cerrados no tiene que ser cerrado.